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RSS订阅原创 数学分析(八)-不定积分2-1-换元积分法3：第一类、第二类换元积分法区别与联系【本质都是复合函数求导法推导出的】【第二换元积分法从形式上看是第一换元积分法的逆行，目的都是为了化为容易求原函数的形式】
而第二换元积分换元的形式是，记x=φ^(-1)(u)，有时候我们还要确定u的定义域，并且化得u=φ(x)。一会儿例题会给我们答案。(3)第二换元积分法需要把x=φ^(-1)(u)代入原被积函数，并且求dx=du/(φ′(x))，才能转化得到换元后的不定积分∫g(u)du.(2)第一换元积分法第一换元积分法换元的形式是，记u=φ(x)，然后直接得到换元后的不定积分∫g(u)du.将不定积分化为∫g(φ(x))φ’(x)dx=∫g(φ(x))dφ(x)的形式；而第二换元积分法没有这个要求。
2024-04-23 23:20:44
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原创 数学分析(八)-不定积分1-2-基本积分表1：基本积分公式4【∫dx/[√1-x²]=arcsinx+C=-arccosx+C；∫dx/(1+x²)=arctanx+C=-arccotx+C】
上列基本积分公式, 读者必须牢牢记住, 因为其他函数的不定积分经运算变形后,最后归为这些基本不定积分.原因在于原函数的定义不像导数定义那样具有构造性,即它只告诉我们其导数恰好等于某个已知函数。所以我们还需要从一些求导法则去导出相应的不定积分法则, 并逐步扩充不定积分公式.这样一些基本初等函数, 现在还不知道怎样去求得它们的原函数。①：公式 4 适用于不含坐标原点的任何区间，读者容易脸证。因此,我们只能先按照微分法的已知结果去试探.当然, 仅有这些基本公式是不够用的,求出它的原函数的具体形式和途径.
2024-04-23 22:30:05
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原创 数学分析(八)-不定积分1-2-基本积分表1：基本积分公式3【∫sec²dx=tanx+C；∫cec²dx=-cotx；∫secx·tanxdx=secx；∫cscx·cotxdx=-cscx+C】
上列基本积分公式, 读者必须牢牢记住, 因为其他函数的不定积分经运算变形后,最后归为这些基本不定积分.原因在于原函数的定义不像导数定义那样具有构造性,即它只告诉我们其导数恰好等于某个已知函数。所以我们还需要从一些求导法则去导出相应的不定积分法则, 并逐步扩充不定积分公式.这样一些基本初等函数, 现在还不知道怎样去求得它们的原函数。①：公式 4 适用于不含坐标原点的任何区间，读者容易脸证。因此,我们只能先按照微分法的已知结果去试探.当然, 仅有这些基本公式是不够用的,求出它的原函数的具体形式和途径.
2024-04-23 00:50:48
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原创 数学分析(八)-不定积分1-2-基本积分表1：基本积分公式2【∫aˣdx=aˣ/lna+C；∫cosaxdx=(1/a)sinax+C、∫sinaxdx=-(1/a)cosax+C】
数学分析(八)-不定积分1-2-基本积分表1：基本积分公式2。
2024-04-23 00:50:17
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原创 数学分析(八)-不定积分1-2-基本积分表2：不定积分的线性运算法则【∫[k₁f(x)+k₂g(x)]dx=k₁∫f(x)dx+k₂∫g(x)dx】
基本积分公式, 读者必须牢牢记住, 因为其他函数的不定积分经运算变形后,最后归为这些基本不定积分. 当然, 仅有这些基本公式是不够用的, 即使像lnxtanxcotxsecxcscxarcsinxarctanx这样一些基本初等函数, 现在还不知道怎样去求得它们的原函数.所以我们还需要从一些求导法则去导出相应的不定积分法则, 并逐步扩充不定积分公式.最简单的是从导数线性运算法则得到不定积分的线性运算法则.
2024-04-23 00:26:54
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原创 数学分析(八)-不定积分1-2-基本积分表1：基本积分公式1【∫0 dx=C、∫1dx=∫dx=x+C、∫xᵃdx=[xᵃ⁺¹/(a+1)]+C、∫1/xdx=ln|x|+C；∫eˣdx=eˣ+C】
上列基本积分公式, 读者必须牢牢记住, 因为其他函数的不定积分经运算变形后,最后归为这些基本不定积分.原因在于原函数的定义不像导数定义那样具有构造性,即它只告诉我们其导数恰好等于某个已知函数。所以我们还需要从一些求导法则去导出相应的不定积分法则, 并逐步扩充不定积分公式.这样一些基本初等函数, 现在还不知道怎样去求得它们的原函数。①：公式 4 适用于不含坐标原点的任何区间，读者容易脸证。因此,我们只能先按照微分法的已知结果去试探.当然, 仅有这些基本公式是不够用的,求出它的原函数的具体形式和途径.
2024-04-23 00:20:20
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原创 数学分析(八)-不定积分1-1-不定积分概念2-不定积分2：求原函数【①：先求出全体原函数；②：其中满足初始条件F(x₀)=y₀的原函数就是积分曲线族中通过点(x₀,y₀)的那“一条”原函数积分曲线】
在求原函数的具体问题中,往往先求出全体原函数,然后从中确定一个满足条件。(称为初始 条件, 它由具体问题所规定。的原函数, 它就是积分曲线族中通过点。例如,质点做匀加速直线运动时,, 代人上式后确定积分常数。
2024-04-23 00:11:44
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原创 数学分析(八)-不定积分1-1-不定积分概念2-不定积分3：不定积分的几何意义【若F是f的一个原函数，则称F(x)的图形为f的一条“积分曲线”】【f的不定积分表示某一积分曲线沿纵轴任意平移所得曲线族】
的某一积分曲线沿纵轴方向任意平移所得一切积分曲线组成的曲线族 (图 8-1).显然,若在每一条积分曲线上横坐标相同的点处作切线,则这些切线互相平行.的不定积分在几何上表示。的一条积分曲线.于是,
2024-04-23 00:07:49
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原创 数学分析(八)-不定积分1-1-不定积分概念2-不定积分1：“不定积分”概念【函数f在区间I上的“全体原函数”称为f在I上的“不定积分”，记作：∫f(x)dx】【∫f(x)dx=F(x)+C】
函数fff在区间III上的全体原函数称为fff在III上的不定积分, 记作∫fxdx1∫fxdx1∫\int∫为积分号,fxf(x)fx为被积函数,fxdxfxdx为被积表达式②{ }^{②}②xxx为积分变量.尽管记号 (1)中各个部分都有其特定的名称,但在使用时必须把它们看作一个整体.由定义 2 可见, 不定积分与原函数是总体与个体的关系, 即若FFF是fff的一个原函数, 则fff的不定积分是一个函数族FC。
2024-04-22 23:56:58
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原创 数学分析(八)-不定积分1-1-不定积分概念1-原函数3：函数f的各个原函数之间的关系【F(x)−G(x)≡C，x∈I】【f在I上的任意两个原函数之间只可能相差一个常数】
看作常量函数, 又把它作为该常量函数的函数值, 在不致混淆时, 以后常说"根据第六章拉格朗日中值定理的推论, 知道。上的任意两个原函数, 则有。上的一个原函数, 则。
2024-04-22 23:44:38
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原创 数学分析(八)-不定积分1-1-不定积分概念1-原函数2：什么函数有原函数【若函数f在区间I上连续，则f在I上存在原函数F，即：F´(x)=f(x)，x∈I】
关于第一个问题,我们用下面两个定理来回答;至于第二个问题, 其解答则是本章接着要介绍的各种积分方法.
2024-04-22 23:43:07
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原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用2-不定式极限2-洛必达法则3：洛必达法则公式【lim_{x→x₀}[f(x)/g(x)]=lim_{x→x₀}[f´(x)/g´(x)]】【可循环使用】
0000。
2024-04-22 22:52:45
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原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用2-不定式极限2-洛必达法则2：应用洛必达法则求极限的条件【①不定式极限；②f、g在U°(x₀)可导且g´(x)≠0；③lim_{x→x₀}[f´/g´]=A】
数学分析(六)-微分中值定理及其应用2-不定式极限2-洛必达法则2：应用洛必达法则求极限条件【①不定式极限（分子分母必须同时为零或者为无穷大）、②满足洛必达法则的其他条件】
2024-04-21 23:48:11
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原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用2-不定式极限2-洛必达法则1：“洛必达法则”定义【以“柯西中值定理”为理论依据，通过分子分母分别求导再求极限来计算0/0型或∞/∞型不定式极限的方法】
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，即limx→x0fxgxlimx→x0f′xg′xx→x0limgxfxx→x0limg′xf′x当然这里的x0x_{0}x0可以为±∞\pm \infty±∞。
2024-04-21 23:41:49
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原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用2-不定式极限1：不定式极限定义【两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限可能存在或不存在，这种极限统称为“不定式极限”，分别即为0/0或∞/∞】
我们在第三章学习无穷小 (大) 量阶的比较时, 已经遇到过两个无穷小(大)量之比的极限. 由于这种极限可能存在, 也可能不存在。因此我们把两个无穷小量或两个无穷大量之比的极限统称为。
2024-04-21 23:16:28
72
原创 bash: rsync: 未找到命令【某一端没有安装rsync（源机子或目标机子没装）】
文章知识点与官方知识档案匹配，可进一步学习相关知识。，发现居然是服务器端没有安装rsync。bash: rsync: 未找到命令。同步与被同步机器都要安装rsync。
2024-04-20 14:03:08
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原创 Centos8安装yum源时候出现的异常问题及解决方案（保好使）
错误：为 repo 'base' 下载元数据失败 : Cannot download repomd.xml: Cannot download repodata/repomd.xml: All mirrors were tried。第三步：查看当前目录下的.repo是否删除成功，输入下面字符串，若没有显示.repo就删除成功了。经过不断的查找方法，作者总结了一个肯定能通过的办法。第二步：删除.repo，输入下面命令，输入 y。第四步：下载可以正常使用的.repo文件。之后我们就重新安装命令就可以了！
2024-04-20 13:45:17
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原创 【Linux】ssh-keygen不需要回车，自动生成密钥，批量免密操作！
这是由于~/.ssh/known_hosts 文件中并未记录相关信息，才需要手动敲击yes后才可以到输入密码界面。将密码传输到各个服务器也需要敲击回车，或输入密码，其中有的第一次登陆的服务器需要输出yes。解决了yes的问题，输入密码也需要手动输入，比较麻烦，不能称之为自动传输，只能称为半自动。中，需要自动生成密钥并自动 ssh-copy-id 这样就很麻烦，需要手动敲击回车，才会生成密钥，如下代码所示。这个前提，需要将ssh_config文件下的。sshpass 非默认安装，需要手动安装。
2024-04-20 12:03:52
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原创 openEuler离线安装docker
所有版本都有，根据你的需求去选择。我这里下载的docker版本号是20.10.23。配置加速器加速下载docker镜像。
2024-04-17 23:27:36
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原创 使用yum安装软件时出现GPG-Key的问题
ps:这是centos7中自带的GPG-KEY的路径，或者使用提示给出的命令rpm --import public.gpg.key。GPGCHECK是检查软件是否被篡改的工具，gpgcheck=1为启用，0为关闭。如果关闭就相当于自己招贼。
2024-04-17 22:59:57
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原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用2-柯西中值定理2：几何意义2【两人定时跑，当甲乙跑的时间相同，其平均速度不同，某一时刻甲乙的瞬时速度之比=平均速度之比】
柯西对拉格朗日说:“兄弟，你说的情况太特殊了，两个人跑同样的时间，平均速度相同，他们在某一点的速度一定相同。当甲乙跑的时间相同，其平均速度不同，柯西证明了存在某一时刻甲乙的瞬时速度之比=平均速度之比。这就是柯西中值定理。在往返跑过程中，可以认为其从A点开始跑，最终回到A点，那么根据常识，这途中必有一点的速度为0。这就是罗尔中值定理。拉格朗日对罗尔说:“兄弟，你说的情况太特殊了，不用做往返跑，某一点的瞬时速度一定等于平均速度”而拉格朗日中值定理可解释为百米跑，百米跑途中，一定存在某个点的瞬时速度=平均速度。
2024-04-17 00:35:24
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原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用2-柯西中值定理4：微积分中值定理三兄弟的关系【①、罗尔中值定理；②、拉格朗日中值定理；③、柯西中值定理】【前者是后者的特殊情况】
如果R上的函数 f(x) 满足以下条件：（1）在闭区间 [a,b] 上连续，（2）在开区间 (a,b) 内可导，则至少存在一个ξ∈(a,b)，使得 f’(ξ)=0。
2024-04-17 00:22:26
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原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用2-柯西中值定理3：柯西中值定理、拉格朗日中值定理的关系【柯西中值定理其实就是拉格朗日中值定理的参数方程形式】
之前我写过一个回答，拉格朗日定理与罗尔定理，柯西定理啥关系，其中阐述了下柯西中值定理的物理模型。仔细想想，物理模型还是蛮反直觉的，就是说两个人跑步的平均速度之比会等于某一时刻两人的瞬间速度之比，仿佛两个独立事件有了因果关系。后来进一步又思考了一个物理模型，终于可以重建这个直觉了（其实学习本身就是重建直觉的过程）。
2024-04-17 00:14:01
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原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用2-柯西中值定理2：几何意义1【参数方程为u=g(x)，v=f(x)的曲线上至少存在一点[g(ξ),f(ξ)]，该点处的切线平行于曲线两端点的连线AB】
有与前两个中值定理【拉格朗日中值定理、导函数中值定理】相类似的几何意义. 只是现在要把。处的切线的斜率. 因此 (1)式即表示上述切线与弦。平面上表示一段曲线 (图6-5).的斜率,而 (1)式左边的。表示连接该曲线两端的弦。
2024-04-16 23:53:49
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原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用1-3-单调函数4-导函数的中值定理2：达布定理几何意义【若f在[a,b]可导，则导函数f´(x)在整个区间内将取遍两端点导数值f´(a)、f´(b)之间的所有值】
总结来说，导函数的介值定理提供了对函数变化弯在区间内行为的深刻理解。它告诉我们，函数的导数(即变化率)会在区间内连续地变化，并至少取遍给定范围内的所有值。这一结论在分析函数的局部行为、研究极值问题以及理解函数的动意特性等方面都有着重要的应用。导函数的介值定理是微积分中关于导数的一个重要结论，它描述了在一定条件下，导数在某个区间内取值的待性。这个定理是实值函数介值定理在导数领域的直接应用，它提供了对函数在䒬一点处的瞬时变化率(即导数) 的深入了解。内可导，那么对于任意介于。
2024-04-16 00:27:33
823
原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用1-3-单调函数4-导函数的中值定理3：达布定理的推论【设函数f(x)在区间I上满足f´(x)≠0，则f(x)在区间I上严格单调】
上可导, 所以连续. 根据最大、最小值定理 (定理 4.6),存在一点。我们将这个定理的证明留给读者.此定理有以下一个简单的推论.上亦为 (严格) 递增 (减), 对右端点。上 (严格) 递增 (堿), 且在点。取得最大值.由 (8) 式, 可知。之间任一实数, 则至少存在一点。上递增 (减)的充要条件是。上严格递增 (严格递减).为递增函数, 则对每一。,应用拉格朗日定理,存在。其图像如图 6-4 所示.
2024-04-14 23:37:18
675
原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用1-3-单调函数4-导函数的中值定理1：达布定理【若f在[a,b]可导且f´(a)≠f´(b)，对于f´(a)＜k＜f´(b)存在ξ∈(a,b)，使f´(ξ)=k】
上可导, 所以连续. 根据最大、最小值定理 (定理 4.6),存在一点。我们将这个定理的证明留给读者.此定理有以下一个简单的推论.上亦为 (严格) 递增 (减), 对右端点。上 (严格) 递增 (堿), 且在点。取得最大值.由 (8) 式, 可知。之间任一实数, 则至少存在一点。上递增 (减)的充要条件是。上严格递增 (严格递减).为递增函数, 则对每一。,应用拉格朗日定理,存在。其图像如图 6-4 所示.
2024-04-14 23:36:00
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原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用1-3-单调函数3：可微/可导函数的严格递增/减【设函数在区间I上可微/可导，若f´(x)＞0，则f在区间I上严格递增】【可微=可导】
上可导, 所以连续. 根据最大、最小值定理 (定理 4.6),存在一点。我们将这个定理的证明留给读者.此定理有以下一个简单的推论.上亦为 (严格) 递增 (减), 对右端点。上 (严格) 递增 (堿), 且在点。取得最大值.由 (8) 式, 可知。之间任一实数, 则至少存在一点。上递增 (减)的充要条件是。上严格递增 (严格递减).为递增函数, 则对每一。,应用拉格朗日定理,存在。其图像如图 6-4 所示.
2024-04-14 23:34:16
862
原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用1-3-单调函数2：严格递增/减的充要条件【严格递增：函数在定义域内自变量增加时函数值一定增加（不能持平，只能增加）】
上可导, 所以连续. 根据最大、最小值定理 (定理 4.6),存在一点。我们将这个定理的证明留给读者.此定理有以下一个简单的推论.上亦为 (严格) 递增 (减), 对右端点。上 (严格) 递增 (堿), 且在点。取得最大值.由 (8) 式, 可知。之间任一实数, 则至少存在一点。上递增 (减)的充要条件是。上严格递增 (严格递减).为递增函数, 则对每一。,应用拉格朗日定理,存在。其图像如图 6-4 所示.
2024-04-14 23:32:49
947
原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用1-2-拉格朗日中值定理3-推论3-导数极限定理2：分段函数“分界点”处的导数【利用“导函数”极限来求特定点x₀处“导数”，取代利用“导数定义”来求x₀处“导数”】
处的导数 (或左、右导数) 能得出何种结论?导数极限定理适合于用来求分段函数的导数.在此之前, 我们只能依赖 “依据导数极限定理推知。
2024-04-14 23:19:04
459
原创 数学分析(五)-导数和微分1-导数的概念2-2：“导数”与“导函数”概念区别【导数f´(a)是描述函数在某一特定点的瞬时变化率；导函数f´(x)是一个完整的函数，包含了原函数在其定义域内每一点的导数】
导数和导函数是微积分中的基本概念，它们之间有着密切的联系，但也存在一些区别。下面我将详细解释这两个概念以及它们之间的区别。
2024-04-14 22:56:47
845
原创 数学分析(五)-导数和微分1-导数的概念1-2-根据“导数定义”来求函数f(x)在点x₀的导数2：f(x)=|x|在x=0处不可导【f在x=0处∆y/∆x的左极限(-1)≠右极限(+1)，极限不存在】
设函数yfxy=f(x)yfx在点x0x_{0}x0的某邻域内有定义, 若极限limx→x0fx−fx0x−x03x→x0limx−x0fx−fx03存在, 则称函数fff在点x0x_{0}x0可导, 并称该极限为函数fff在点x0x_{0}x0的导数, 记作f′x0f′x0令xx0ΔxΔyfx0Δx−fx0x。
2024-04-14 22:39:48
903
原创 数学分析(三)-函数极限1-函数极限概念2-6：f在点x₀的极限存在的充要条件【f在点x₀处的左极限=f在点x₀处的右极限】
关于函数极限x→x0limfx。
2024-04-14 22:38:45
606
原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用1-2-拉格朗日中值定理0-3-拉格朗日公式-表示形式3：f(a+h)−f(a)=f´(a+θh)h，其中：0＜θ＜1
(4)、(5) 两式的特点, 在于把中值点。总可为小于 1 的某一正数.
2024-04-14 20:28:25
907
原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用1-2-拉格朗日中值定理0-3-拉格朗日公式-表示形式2：f(b)−f(a)=f´[a+θ(b−a)](b−a)，0＜θ＜1
(4)、(5) 两式的特点, 在于把中值点。总可为小于 1 的某一正数.
2024-04-14 20:27:33
809
原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用1-2-拉格朗日中值定理0-3-拉格朗日公式-表示形式1：f(b)−f(a)=f´(ξ)(b−a)，其中：a＜ξ＜b
之间的某一定数. 而 (4)、(5) 两式的特点, 在于把中值点。定理 6.2 的结论 (公式 (2)) 称为。值得注意的是，拉格朗日公式无论对于。总可为小于 1 的某一正数.
2024-04-14 20:24:14
551
原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用1-2-拉格朗日中值定理0-2：拉格朗日中值定理的几何意义【y=f(x)上至少存在一点P处的切线平行于曲线两端点的连线】【百米跑途中存在某点的瞬时速度=平均速度】
之间的某一定数. 而 (4)、(5) 两式的特点, 在于把中值点。,该曲线在该点处的切线平行于曲线两端点的连线。定理 6.2 的结论 (公式 (2)) 称为。值得注意的是，拉格朗日公式无论对于。之差 (如图 6-3所示).拉格朗日中值定理的几何意义是。我们在证明中引入的辅助函数。总可为小于 1 的某一正数.在满足定理条件的曲线。
2024-04-14 20:10:28
544
原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用1-1-罗尔定理2：罗尔定理的几何意义【在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等, 则至少存在一条水平切线】【往返跑过程中必有一点的速度为0】
在每一点都可导的一段连续曲线上,如果曲线的两端点高度相等, 则至少存在一条水平切线。
2024-04-14 00:13:14
106
原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用1-2-拉格朗日中值定理3-推论3-导数极限定理1：设函数f满足①在U(x₀)上连续；②在U°(x₀)上可导；③limf´(x)存在，则f在x₀可导，且为极限值】
处的导数. 在此之前, 我们只能依赖导数定义来处理,现在则可以利用导数极限定理.由于。处的导数 (或左、右导数) 能得出何种结论?分别按左、右导数来证明 (6) 式成立.导数极限定理适合于用来求分段函数的导数., 对 (7) 式两边取极限, 便得。上满足拉格朗日定理条件, 则存在。. 依据导数极限定理推知。
2024-04-14 00:08:26
456
原创 数学分析(六)-微分中值定理及其应用1-2-拉格朗日中值定理2：推论2【若f和g均在区间I上可导，且f´(x)≡g´(x)，x∈I，则在区间I上f与g只相差某一常数c，即：f(x)=g(x)+c 】
只相差某一常数, 即。
2024-04-14 00:07:01
820
《Approaching (Almost) Any Machine Learning Problem》
2023-09-13
空空如也
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