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初等数论【整除性篇】之习题证明

目录1题目:证明2题目证明3题目证明4题目证明5题目1题目:证明:任意奇数的平方减1是8的倍数证明设这个奇数为a+1a+1a+1,aaa为偶数它的平方-1为a2+2a=a(a+2)a^2+2a=a(a+2)a2+2a=a(a+2)∵\because∵aaa为偶数∴\therefore∴在aaa与a+2a+2a+2中肯定有一个数可以被4整除∴\therefore∴a(a+2)a(a+2)a(a+2)为888的倍数得证2题目当nnn是偶数时,2∣3n+12|3^n+12∣3n+1;当n

2020-10-17 13:09:55

【题解】蜈蚣

在一条山路的转角处,WYH发现了一条有中指一样粗的有N节的蜈蚣。这只蜈蚣马上就吸引了HKE的眼球,HKE深深地爱上了这条魔性的蜈蚣。它的很多对足在前进的时候像波浪一样,颇是有毒。但是,热爱解剖动物的MZL却准备把蜈蚣切了。HKE很失落,于是MZL承诺不会完全肢解它,只把它的N节切成M段,每一段包含原蜈蚣完整的一节或多节。HKE看到他心爱的蜈蚣会切掉是会觉得恶心的。蜈蚣的每一节都有一个权值W[i],切下来的一段(W[i],W[i+1],...,W[j])带给HKE的恶心值是W[i] xor W[i+1

2020-10-07 19:56:59

【总结】LCA

LCA是什么,能吃吗基本概念:祖先:有根树中,一个节点到根的路径上的所有节点被视为这个点的祖先,包括根和它本身公共祖先:对于点a和b,如果c既是a的祖先又是b的祖先,那么c是a和b的公共祖先深度:子节点的深度=父节点深度+1,一般我们定根的深度为1最近公共祖先:树上两个节点的所有公共祖先中,深度最大的那个称为两个点的最近公共祖先(LCA)例子在这样一张图中,我们来回答一些问题,加深对LCA的印象4的祖先有哪些答案:4,2,17的祖先有哪些答案:7,5,3,19的祖先有哪些

2020-10-06 20:37:01

【题解】最优贸易

题目题目描述C国有nnn个大城市和mmm 条道路,每条道路连接这 nnn个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 mmm 条道路中有一部分为单向通行的道路,一部分为双向通行的道路,双向通行的道路在统计条数时也计为 111条。CCC国幅员辽阔,各地的资源分布情况各不相同,这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是,同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。商人阿龙来到 CCC 国旅游。当他得知同一种商品在不同城市的价格可能会不同这一信息之后,便决定在旅游的

2020-10-05 07:53:06

【题解】加分二叉树

题目题目描述设一个 nnn 个节点的二叉树tree\text{tree}tree 的中序遍历为(1,2,3,\ldots,n)(1,2,3,…,n),其中数字 1,2,3,\ldots,n1,2,3,…,n 为节点编号。每个节点都有一个分数(均为正整数),记第 ii 个节点的分数为 d_idi​ ,\text{tree}tree 及它的每个子树都有一个加分,任一棵子树 \text{subtree}subtree(也包含 \text{tree}tree 本身)的加分计算方法如下:\text{sub

2020-10-04 15:51:09

【题解】求树的直径

问题描述给定一棵树,树中每条边都有一个权值,树中两点之间的距离定义为连接两点的路径边权之和。树中最远的两个节点(两个节点肯定都是叶子节点)之间的距离被称为树的直径,连接这两点的路径被称为树的最长链。后者通常也可称为直径。算法:不妨设1号节点为根,“N个节点,N-1条边的无向图”就可以看作“有根树”。设d[x]表示从节点x出发走向以x为根的子树,能够到达最远节点的距离。设x的子节点为y1,y2,……,yt,edge(x, y)表示边权,显然有:d[x] = max{d[yi] + edge(x, y

2020-10-04 14:47:08

【题解】求树的重心

定义树的重心定义为,当把节点x去掉后,其最大子树的节点个数最少(或者说成最大连通块的节点数最少),那么节点x就是树的重心。通俗的理解:这个点去掉后,剩下的联通块尽量平均算法:树上任选一结点 uuu 开始 DFS,沿路统计其所有子树的大小和以它为根的子树的大小,这样也就可以得到一个点所有子树的大小及的大小还有一个问题,如果这个点不是根节点,那么删掉后剩下的连通块不止有他的子树,还有他上面的部分,这部分可以由总结点减去他自己的子树大小得到我们知道一个性质:删除重心后所得的所有子树,节点数不超过原树的

2020-10-04 14:44:56

【题解】没有上司的晚会

题目题目描述某大学有 nnn 个职员,编号为 1…n1\ldots n1…n。他们之间有从属关系,也就是说他们的关系就像一棵以校长为根的树,父结点就是子结点的直接上司。现在有个周年庆宴会,宴会每邀请来一个职员都会增加一定的快乐指数rir_iri​ ,但是呢,如果某个职员的直接上司来参加舞会了,那么这个职员就无论如何也不肯来参加舞会了。所以,请你编程计算,邀请哪些职员可以使快乐指数最大,求最大的快乐指数。输入格式输入的第一行是一个整数 nnn。第 222 到第 (n+1)(n + 1)(n+1

2020-10-04 14:42:08

【总结】树形DP

树形DP、最大独立子集、树的重心、树的直径、经典例题

2020-10-04 14:29:39

【总结】矩阵

矩阵基本概念、矩阵乘法、矩阵快速幂及其用法

2020-09-26 22:59:06

【题解】残缺棋盘

题目棋手楚继光和张琪曼一动不动地在棋盘前已经沉默地坐了五个小时。他们全神贯注地盯着每粒棋子。突然,楚继光说:“原则上我是反对在下棋时说话的,但是我现在不得不开口问:现在究竟该谁走下一步棋了?”张琪曼说:“谁先走都不重要了,现在的问题是:谁把这个棋盘上的格子损坏了?”正如图所示,有一正方形棋盘,其边长为2k(1<k<10)2^k(1<k<10)2k(1<k<10),其中有一格损坏。现在想用如图中间所示形状的硬纸板将没有坏的所有格子盖起来。而硬纸板不得放入坏格中和棋

2020-09-05 20:00:07

【题解】[清华集训2015]灯泡

题目题目描述相比 Wildleopard 的家,他的弟弟 Mildleopard= 比较穷。他的房子是狭窄的,而且在他的房间里仅有一个灯泡。每天晚上,他徘徊在自己狭小的房子里,思考如何赚更多的钱。有一天,他发现他的影子的长度随着他在灯泡和墙壁之间走动时会发生变化。一个突然的想法出现在他的脑海里,他想知道在房间里他的影子的最大长度。输入格式输入文件的第一行包含一个整数 TTT,表示测试数据的组数。对于每组测试数据仅有一行包含三个实数 HHH,hhh 和 DDD,HHH 表示灯泡的高度,hhh 表示

2020-09-04 22:27:38

【题解】查找最接近的元素(三分)

在一个非降序列中,查找与给定值最接近的元素。

2020-09-03 21:16:21

【总结】RMQ问题之ST算法

RMQ算法的倍增算法求解

2020-08-24 19:40:44

【题解】单词游戏

题解题目描述原题来自:2009 Multi-University Training Contest 12 - Host by FZU有 NNN个盘子,每个盘子上写着一个仅由小写字母组成的英文单词。你需要给这些盘子安排一个合适的顺序,使得相邻两个盘子中,前一个盘子上单词的末字母等于后一个盘子上单词的首字母。请你编写一个程序,判断是否能达到这一要求。如果能,请给出一个合适的顺序。输入格式多组数据。第一行给出数据组数TTT ,每组数据第一行给出盘子数量 NNN,接下去 NNN 行给出小写字母字符串,一种

2020-08-20 18:40:41

【题解】平板涂色(洛谷 P1283)

题目题目描述CE 数码公司开发了一种名为自动涂色机(APM)的产品。它能用预定的颜色给一块由不同尺寸且互不覆盖的矩形构成的平板涂色。为了涂色,APM 需要使用一组刷子。每个刷子涂一种不同的颜色CiC_iCi​。APM 拿起一把有颜色CiC_iCi​的刷子,并给所有颜色为 CiC_iCi​ 且符合下面限制的矩形涂色:为了避免颜料渗漏使颜色混合,一个矩形只能在所有紧靠它上方的矩形涂色后,才能涂色。例如图中矩形 FFF 必须在 CCC 和 DDD 涂色后才能涂色。注意,每一个矩形必须立刻涂满,不能只涂一部

2020-08-18 19:51:47

【题解】「CF1175A」From Hero to Zero

题目题目描述You are given an integer nnn and an integer kkk .In one step you can do one of the following moves:decrease nnn by 111 ;divide nnn by kkk if nnn is divisible by kkk .For example, if n=27n = 27n=27 and k=3k = 3k=3you can do the following step

2020-08-17 21:07:47

【题解】 [SCOI2012]滑雪

目录题目题目描述输入格式输出格式输入输出样例输入 #1输出 #1复制说明/提示【数据范围】题解整理题目思路考虑顺序1.只能从高到低2.到的景点最多、总距离最短坑点最后就是代码题目题目描述a180285 非常喜欢滑雪。他来到一座雪山,这里分布着 mmm 条供滑行的轨道和 nnn 个轨道之间的交点(同时也是景点),而且每个景点都有一编号 i (1≤i≤n)i\space (1 \le i \le n)i (1≤i≤n)和一高度hih_ihi​。a180285 能从景点 iii 滑到景

2020-08-15 15:25:20

【题解】打击犯罪

题目题目描述某个地区有n(n≤1000)个犯罪团伙,当地警方按照他们的危险程度由高到低给他们编号为1-n,他们有些团伙之间有直接联系,但是任意两个团伙都可以通过直接或间接的方式联系,这样这里就形成了一个庞大的犯罪集团,犯罪集团的危险程度由集团内的犯罪团伙数量唯一确定,而与单个犯罪团伙的危险程度无关(该犯罪集团的危险程度为n)。现在当地警方希望花尽量少的时间(即打击掉尽量少的团伙),使得庞大的犯罪集团分离成若干个较小的集团,并且他们中最大的一个的危险程度不超过n/2。为达到最好的效果,他们将按顺序打击掉编

2020-08-11 20:21:40

【题解】[NOIP2010]关押罪犯

题目题目描述S 城现有两座监狱,一共关押着 NNN 名罪犯,编号分别为 1−N1−N1−N。他们之间的关系自然也极不和谐。很多罪犯之间甚至积怨已久,如果客观条件具备则随时可能爆发冲突。我们用“怨气值”(一个正整数值)来表示某两名罪犯之间的仇恨程度,怨气值越大,则这两名罪犯之间的积怨越多。如果两名怨气值为 ccc 的罪犯被关押在同一监狱,他们俩之间会发生摩擦,并造成影响力为 ccc 的冲突事件。每年年末,警察局会将本年内监狱中的所有冲突事件按影响力从大到小排成一个列表,然后上报到 S 城 Z 市长那里。

2020-08-10 20:02:18

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