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原创 《混沌映射与比特重组的图像加密》（平萍等）一文的算法流程
本文是对《混沌映射与比特重组的图像加密》（平萍等）一文中加密算法流程的勘误和整理, 并且也对解密算法作了表述. 内附有其他相关文章的传送门.
2020-12-21 14:37:45
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原创 Witt向量简介 §4.2：环的完备化的若干问题说明
之前的章节有讲到环的完备化问题，但里面一些细节的推敲在正文中由于与主题关系不大，故被略过，现于附录中加以论述。包含：全体柯西列集合C是一个含幺交换环；极限为0的序列集合m是C的一个双边理想；C/m上新定义的映射结构的值存在性问题、良定义问题、赋值结构性的证明。
2021-07-08 01:41:27
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原创 Witt向量简介 §3.3.2：原像集为Witt向量环的环态射的态射性验证
本文基于严格p-环结构、Witt环结构、Teichmüller提升的条件，改进原双射的形式并分步骤证明新的双射形式确实是一个环态射，即最终证明了严格p-环的剩余类环上的Witt环同构于原来的严格p-环，由此推论出有限域F_p上的Witt环同构于p-进整数环Z_p。
2021-07-08 01:33:36
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原创 Witt向量简介 §3.3.1：Teichmüller提升简述
本文是对Teichmüller 提升的一个比较系统的介绍。我们先以点集拓扑学的概念：滤子基和柯西滤子基作铺垫，然后提出Teichmüller映射构造的方法并证明它确实是一个提升，接着就是介绍其具有的若干特性，包括将零映射成零、将一映射成一、保持乘法、特定条件下保持加法。
2021-07-08 01:27:31
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原创 Witt向量简介 §3.3：原像集为Witt向量环的环态射
在已经构建起原像集为Witt向量环的双射的基础上，为了使其具有态射性，鉴于该双射含有提升的构造特点，我们必须研究一个经典的提升结构：Teichmüller 提升。本文最后也介绍了后续证明经常要用到的一个引理。
2021-07-08 01:22:55
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原创 Witt向量简介 §3.2.3：Witt环除运算封闭性外的其他环条件的验证
本文是对Witt环结构除运算封闭性外的其他条件的一一验证，分别是：加、乘法满足结合律；加、乘法满足交换律；加、乘法具有运算单位元；加法具有运算逆元；满足两个分配律。
2021-07-08 01:16:39
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原创 Witt向量简介 §3.2.2：Witt环运算封闭性验证
本文先引入两个初等数论定理：素数整除组合数定理、费马小定理，然后一步步导出运算封闭性证明涉及到的两个引理，最后基于这两个引理验证了在Witt运算法则下确实具有环结构。
2021-07-08 01:13:31
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原创 Witt向量简介 §3.2.1：模理想同余简述
出于Witt环结构相关的一些定理命题证明过程的需要，我们简单介绍模理想同余的定义、其充要条件以及一系列基本的性质：自反性、交换性、传递性、满足乘法运算、满足加法运算、满足减法运算以及若干个延伸的其他性质。
2021-07-08 00:54:34
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原创 Witt向量简介 §3.2：Witt向量的环结构概述
本文关注于由含幺交换环上Witt向量构成的集合在什么二元运算下构成环的问题。首先我们验证和肯定了平凡加法和乘法下的环结构。其次，更重要地，引入德国籍数学家Ernst Witt曾经提出过的另一种巧妙的二元运算形式，并且借由论文前面的成果肯定了他如此定义的运算是良定义。本文也给出了3.2节框架下的一些细小的分任务。
2021-07-08 00:15:20
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原创 Witt向量简介 §3.1：Witt多项式
为了认识Witt向量（环），我们先要认识Witt多项式作为奠基。本文介绍了Witt多项式的定义、Witt多项式的递推关系、用Witt多项式反过来表示未知量的性质、π^(-1)的整系数多项式构成的Witt多项式等于Witt多项式的二元多项式的存在性定理、未知量构成的向量相等映射到Witt多项式构成的向量相等。
2021-07-08 00:08:44
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原创 Witt向量简介 §2.2：Witt向量的代数背景
本文在引出p-进整数环Z_p的基础上，通过引入提升这个数学概念，构造了有限域F_p的无限直积与Z_p的双射关系，并且指出了这个现象包含在更为一般的环种类：（严格）p-环，即完全环也可以仿照前面的分析得到类似的双射关系。针对完全环的描述和引入过程中又介绍了诸如像Hausdorff拓扑环这样的重要概念。
2021-07-07 23:55:24
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原创 Witt向量简介 §2.1：整数环Z关于p-进赋值的完备化的Z_p表示法
在得到整数环Z关于p-进赋值完备化的投影极限形式的结果后，我们单独研究投影极限的第无穷个分量，发现它包含了前面所有分量的信息，于是又简化了之前得到的完备化结果，得到一个更加简洁的完备化同构表示：Z_p，即p-进整数环。
2021-07-07 23:47:50
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原创 Witt向量简介 §1.3：整数环Z关于p-进赋值的一种完备化结果
主要介绍了关于赋值的柯西列概念以及相应的例子；序列关于赋值收敛的定义以及相应的命题和例子；环关于赋值具有完备性的定义；整数环Z关于平凡赋值和普通赋值都是完备的，但关于p-进赋值不是完备的；环完备化的定义和投影极限形式的同构表示。
2021-07-07 23:40:41
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原创 Witt向量简介 §1.2：三个特殊赋值与Ostrowski定理
主要介绍了三种绝对值结构：平凡绝对值、普通绝对值、p-进绝对值，并且证明他们同时也都是赋值结构，且平凡、p-进赋值具有非阿基米德性，而普通赋值具有阿基米德性。然后引入Ostrowski定理，推导出有理数域上的任意一种赋值等价于上面三种赋值中的一种且仅一种，由此将有理数域上的所有赋值分成可数个等价类。
2021-07-07 20:56:29
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原创 Witt向量简介 §1.1：环上赋值基础
主要介绍了环上赋值的概念；赋值的性质；赋值的分类；非阿基米德的强三角不等式、严格三角等式；度量（空间）的概念；度量拓扑的概念；赋值等价的概念和等价表述。
2021-07-07 20:46:02
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原创 n阶Vander Monde（范德蒙德）行列式的计算
通过列之间的线性抵消和行公因数的提取得到关于行列式的递推式，利用递推式解出一般的n阶Vander Monde行列式的值。
2021-07-03 21:23:13
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原创 Mathtype部分字符无法显示的一种解决方案：更新系统字体库
通过将Mathtype自带的所有字体文件copy到系统字体库文件夹来解决Mathtype部分符号不能正常显示的问题。
2021-07-03 16:24:43
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原创 《高等代数学》（姚慕生），习题1.4：行列式的展开和转置
基于n阶行列式可按任意一行或任意一列展开提供1, 2两道题。基于行列式转置值不变提供3一道题。基于行列式列交换提供4一道题。基于行列式线性抵消化简提供5一道题。基于Cramer法则提供6一道题。
2021-07-02 22:29:27
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原创 命题p(x)在点集E上几乎处处成立 蕴涵 p(x)在E的任意子集F上也几乎处处成立
本文直接由命题p(x)在E上几乎处处成立 推导出 其必要条件，该必要条件的性质体现在E的任一子集F上。
2021-06-24 22:20:05
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原创 命题p(x)在点集E上几乎处处成立 等价于 {x∈E: p(x)不成立}是一个零测集
本文由命题p在点集E上几乎处处成立的定义作出一个比较实用的等价推论。
2021-06-24 17:43:59
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原创 (xsinx)/(1+(cosx)^2)在0到π上的定积分
一道求解被积函数是分式形式且同时含有x, sinx, cosx的定积分问题。方法是通过变量代换x = π - t 将原积分的求解转化为被积函数只含有sinx, cosx的定积分。
2021-06-24 01:34:05
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原创 第(i, j)项为cos( (j-1) * x_i )的n阶行列式的求解
本文借助De Moivre公式、二项式定理的思想，借助行列式运算的一些基本性质求解一道含有三角函数cos的n阶行列式问题。
2021-06-23 22:35:19
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原创 《实变函数简明教程》，P114，第7题（积分具有绝对连续性 推导 Lebesgue可积）
本文是对教材课后一道例题的解答。该例题使用三个限制条件：可测集有界；函数可测；函数Lebesgue积分具有绝对连续性，来推导出函数Lebesgue可积的结论，揭示了函数Lebesgue可积的一种充分条件。
2021-06-20 02:42:15
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原创 《实变函数简明教程》，第四章：Lebesgue积分，非负可测函数列的Lebesgue积分极限为0 推导 依测度收敛于0
非负可测函数列的Lebesgue积分极限属于第四章：Lebesgue积分的内容，而依测度收敛属于第三章：可测函数的内容。前者可以推导出后者，我们发现这个命题可以将第三章与第四章的一些内容联系起来。
2021-06-20 00:44:50
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