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RSS订阅原创 统计推断 完备性与完备统计量的思想与历史渊源
因为这一年来有很多人问统计推断里的完备性到底要怎么理解，和泛函分析里的完备性是不是一回事之类的问题，所以今天结合数理统计学史给大家介绍一下完备性的渊源。我去除了大部分需要测度论的内容，但保留了一些测度论的概念，好让大家知道这篇文章确实是关于高等数理统计的。
2023-02-22 06:46:59
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原创 高维统计理论 非参数回归模型的误差分析基础
之前两篇介绍了[RKHS]及其经典应用[kernel ridge regression]，这一篇讨论一般的非参数最小二乘模型的理论性质。
2022-08-14 07:09:26
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原创 高维统计理论 Gauss与Rademacher复杂度
对于随机过程$\{X_{\theta},\theta \in T\}$，其中$T$是随机过程的指标集，给定$\theta \in T$时，$X_{\theta}$是一个随机变量。在本篇中，我们感兴趣的问题是如何利用已知的随机过程研究指标集$T$的性质。
2022-07-21 04:23:35
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原创 Logit Beta分布及其R语言随机模拟算法
Logit Beta分布是一个在广义线性模型中时常遇到的分布，通常是作为模型算法的一个中间部分。因其自身特点，在采样的时候，很容易得到取值非常大的样本点，从而导致算法发散。所以本篇简单介绍一下这个分布，并给出对其进行采样的策略。...
2022-07-20 05:26:35
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原创 Kernel Ridge Regression理论与R语言实践
Kernel Ridge Regression（KRR）是再生核希尔伯特空间（reproducing kernel Hilbert space，RKHS）在机器学习中的一个经典应用，上一篇介绍了RKHS，这一篇我们以KRR为例介绍RKHS在机器学习中的应用。
2022-07-19 14:51:01
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原创 再生核希尔伯特空间：Hilbert Space与RKHS基础
统计中的很多问题都需要在函数空间上做优化，比如非参数回归、密度估计等。而Hilbert空间不但包含了所有在这类统计问题中常用的函数，并且具有良好的分析、几何性质，所以我们经常用Hilbert空间作为统计问题中的函数空间。其中一种被广泛应用的Hilbert空间是再生核希尔伯特空间（Reproducing Kernel Hilbert Space，RKHS），这个名称来自它本身的特征——由再生核定义的希尔伯特空间。...
2022-07-19 06:32:14
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原创 高维统计理论 估计量的Minimax误差分析 基础理论
统计中一个很重要的问题是计算估计量的误差，我们总是希望得到误差更小的估计量。比如参数估计中的UMVUE、线性模型中的BLUE等概念，都涉及最小误差的概念；而C-R不等式更是直接给出了估计量方差的下界。在高维统计中，我们也希望建立类似的计算或者近似估计量误差的方法。这类方法根据model-dependence可以分为两种，计算某一个或者某一种统计模型估计量误差的特殊方法以及计算统计模型估计量误差的一般性方法。本篇文章感兴趣的是第二种。...
2022-07-19 03:42:20
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原创 高维统计学 第一章读书笔记 高维数据与大数定律和中心极限定理
这一篇以简单的正态均值估计为例浅谈一下传统统计理论中最为重要的大数定律与中心极限定理在高维数据问题中可能遇到的问题。
2022-06-21 13:00:00
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原创 高维统计学 第一章读书笔记 传统统计方法在高维数据中面临的挑战
本篇是高维统计学第一章的读书笔记，以LDA为例总结了经典统计理论在高维问题中失败，并介绍了高维理论解决高维问题的思想。限于篇幅问题，本篇只总结理论结果，模拟实验与代码在下一篇呈现。...
2022-06-20 05:59:12
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原创 Ideal Observer理论基础
Ideal Observer理论基础什么是Ideal Observer基本模型Object Model理想观察者的似然比什么是Ideal Observer在成像模型中，成像的质量取决于三个部分：观察者、成像对象、成像背景。比如给野生兔兔拍照的时候，观察者就是手机摄像头，成像对象是小兔子，成像背景是土褐色的沙石地面。（今早出门教课遇见的野兔子）在成像模型中，一个非常重要的问题是：怎么设计一个优秀的观察者，使之在不同背景下给各种各样的对象进行拍照时，都能得到优质的图片，也就是怎么找最优观察者。然而在清
2022-05-19 07:04:08
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原创 UA MATH524 复变函数 用保形映射解Laplace方程的边值问题
UA MATH524 复变函数 用保形映射解Laplace方程的边值问题基础例题条形定义域圆形定义域扇形定义域基础基本结论考虑定义在{(x,y):y≥0}\{(x,y):y \ge 0\}{(x,y):y≥0}（即上半平面）上的Laplace方程Δu(x,y)=∂2u∂x2+∂2u∂y2=0\Delta u(x,y)=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0Δu(x,y)=∂x2∂2u+∂y2∂2u=
2022-04-27 16:03:25
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原创 UA MATH524 复变函数 验证一个函数是否为调和函数
UA MATH524 复变函数 验证一个函数是否为调和函数称u(x,y)u(x,y)u(x,y)为调和函数，如果它满足Laplace方程：Δu=0\Delta u=0Δu=0其中Δ\DeltaΔ为Laplace算子，Δ=∂2∂x2+∂2∂y2\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}Δ=∂x2∂2+∂y2∂2。假设f=u+ivf=u+ivf=u+iv是解析函数，则它的实部uuu与虚部vvv都是调和函
2022-04-27 14:03:56
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原创 Gauss Quadrature数值求积基础与R语言实践
Gauss Quadrature数值求积基础与R语言实践Gauss Quadrature的基本概念R语言实践例1：Gauss-Legendre Quadrature例2：Gauss-Laguerre Quadrature例3：Gauss-Hermite QuadratureGauss Quadrature的基本概念回顾一下Riemann积分的定义∫abf(x)dx=limP→0∑i=1Nf(ξi)Δxi\int_a^b f(x)dx = \lim_{P \to 0} \sum_{i=1}^N f(\
2022-04-14 14:55:38
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原创 贝叶斯多元Logistics回归理论基础
贝叶斯多元Logistic回归理论基础多元Logistic分布一元Logit模型多元Logistic分布t分布近似多元分类数据的似然函数(t-近似)后验计算第一步：用t分布近似的MCMC算法第二步：重要性调整原文：Bayesian Multivariate Logistic Regression by O’Brien and Dunson (2004)多元Logistic分布一元Logit模型假设Yi∈{0,1}Y_i \in \{0,1\}Yi∈{0,1}表示样本i=1,⋯ ,ni = 1,\c
2022-04-08 10:25:37
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原创 UA MATH524 复变函数13 补充：留数计算的例题
UA MATH524 复变函数13 补充：留数计算的例题假设fff在B∘(z0,r)\overset{\circ}{B}(z_0,r)B∘(z0,r)上解析，则留数的定义为Res(f;z0)=12πi∫∣w−z0∣=sf(w)dw,0<s<rRes(f;z_0)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{|w-z_0|=s}f(w)dw,0<s<rRes(f;z0)=2πi1∫∣w−z0∣=sf(w)dw,0<s<r当fff在z0z_0z0处解析
2022-04-04 08:27:55
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原创 UA OPTI544 量子光学13 场的量子化描述
UA OPTI544 量子光学13 场的量子化描述简谐运动的经典力学与量子力学模型经典力学量子力学一维标量场的量子化在量子光学开篇就提到过，对光学的理解大致分为三个层次，Classical Description：经典电动力学描述光、经典力学描述介质粒子Semi-classical Description：经典电动力学描述光、量子力学描述介质粒子Quantum Description：量子电动力学描述光、量子力学描述介质粒子Classical和Semi-classical Descriptio
2022-04-03 14:00:27
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原创 Log Cauchy分布的一个Hierarchical模型：LC=Gamma+Gamma+Unif
Log Cauchy分布的一个Hierarchical模型：LC=Gamma+Gamma+Unif
2022-03-25 14:51:27
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原创 UA OPTI544 量子光学9 2-level system approximation的向量模型
UA OPTI544 量子光学9 2-level system approximation的向量模型Bloch Vector与Optical Bloch EquationBloch变量及其物理含义Optical Bloch Equation的推导及其向量形式Optical Bloch Equation的解Separated Oscillatory Field的Ramsey方法Ramsey 2-pulse技巧自旋回波Bloch Vector与Optical Bloch EquationBloch变量及其物
2022-03-22 03:48:22
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原创 UA MATH524 复变函数9 柯西公式与幂级数展开
UA MATH524 复变函数9 Cauchy公式与幂级数展开Cauchy公式及其证明用Cauchy公式计算幂级数的系数Cauchy公式及其证明假设fff是DDD上的全纯函数，γ\gammaγ是DDD中的分段平滑正向封闭曲线，且γ\gammaγ围成区域的内部Ω\OmegaΩ是DDD的子集，则f(z)=12πi∫γf(w)w−zdw,∀z∈Ωf(z)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{f(w)}{w-z}dw,\forall z \in \Omegaf(z)=2
2022-03-16 07:39:24
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原创 UA MATH524 复变函数13 奇点与留数
UA MATH524 复变函数13 奇点与留数零点的阶孤立奇点可移除的奇点Pole本性奇点零点的阶假设fff满足f(k)(z0)=0,k=0,1,⋯ ,m−1f(m)(z0)≠0f^{(k)}(z_0)=0,k=0,1,\cdots,m-1 \\ f^{(m)}(z_0) \ne 0f(k)(z0)=0,k=0,1,⋯,m−1f(m)(z0)=0称z0z_0z0是fff的mmm阶零点。如果z0∈Dz_0 \in Dz0∈D，fff在DDD上为全纯函数，则在DDD上fff存在幂级数展开，
2022-03-16 07:22:51
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原创 UA MATH524 复变函数8 Cauchy定理与原函数
UA MATH524 复变函数8 Cauchy定理与原函数Cauchy定理定义域中的分段平滑封闭曲线单连通定义域中的封闭曲线原函数Cauchy定理定义域中的分段平滑封闭曲线假设fff是定义域DDD上的全纯函数，并且f′f'f′为连续函数，γ\gammaγ是DDD中的分段平滑封闭曲线，它围成区域的内部为Ω\OmegaΩ，Ω⊂D\Omega \subset DΩ⊂D，则∫γf(z)dz=0\int_{\gamma} f(z)dz=0∫γf(z)dz=0证明 记f(z)=u+ivf(z)=u+ivf(
2022-03-16 04:38:57
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原创 UA OPTI544 量子光学9 补充：多普勒增宽
UA OPTI544 量子光学9 补充：多普勒增宽多普勒效应Doppler Broadening多普勒效应多普勒效应（Doppler effect）是波源和观察者有相对运动时，观察者接受到波的频率与波源发出的频率并不相同的现象。在声波领域，用f′f'f′表示观察者观察到的频率，fff表示波源的频率，以介质作为参考系，假设波在介质中的传播速度为vvv，观察者相对介质的运动速度为vOv_OvO（靠近波源的方向为正），波源相对介质的运动速度为vSv_SvS（远离观察者的方向为正），则f′=v+vOv−v
2022-03-15 04:04:46
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原创 UA OPTI544 量子光学8 2-level system approximation的population rate equation模型
UA OPTI544 量子光学8 2-level system approximation的population rate equation模型Density Matrix的稳态（假设无非弹性碰撞）Elastic Collision Broadening光子通量Rate Equation的解（假设无非弹性碰撞）Power Broadeningσ(Δ)\sigma(\Delta)σ(Δ)的表达式（假设无碰撞）在上一讲的结尾，我们得到了光与粒子交互系统的2-level system approximation
2022-03-14 03:13:17
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原创 UA OPTI544 量子光学7 2-level system approximation的Density Matrix模型
UA OPTI544 量子光学7 2-level system approximation的Density Matrix模型Density Matrix的Rabi EquationNon-Hamiltonian EvolutionElastic CollisionInelastic CollisionSpontaneous Decay这一讲我们用Density Operator讨论2-level system，在关于Density Operator的补充内容中，我们推导了Density Operator满
2022-03-13 04:51:28
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原创 Deseq2的理论基础
Deseq2的理论基础原文：Moderated estimation of fold change and dispersion for RNA-seq data with Deseq2 by Love, Anders and Huber 2014这是对Deseq的延申，简单总结一下这个模型的统计方法。模型Number of reads in sample jjj that are assigned to gene iii记为KijK_{ij}Kij，假设Kij∼NB(μij,αi),i=1,
2022-03-04 04:05:58
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原创 Deseq的理论基础
Deseq的理论基础原文：Differential Expression Analysis for Sequence Count Data by Anders and Huber 2010写篇博文简单总结一下这个模型的统计方法。首先，Deseq的目标是给定基因，检验不同组的read counts是否存在显著差别。如果reads是互相独立的，那么read counts服从二项分布，可以由Poisson分布近似（当the probability of read足够小，且样本数足够大时），所以Poisson分
2022-03-04 04:05:28
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原创 UA OPTI544 量子光学7 补充：Density Operator
UA OPTI544 量子光学7 补充：Density Operator
2022-03-03 03:54:04
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原创 UA OPTI544 量子光学6 光与介质相互作用 Raman Coupling in 3-level System
UA OPTI544 量子光学6 光与介质相互作用：Raman Coupling in 3-level System
2022-02-17 02:49:19
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原创 UA MATH524 复变函数4 复级数与复变函数的积分基础
UA MATH524 复变函数4 复级数与复变函数的积分基础复级数基础级数的定义级数的导数与复变函数的级数展开复变函数的积分基础复变函数积分的定义复变函数积分的计算方法复级数基础级数的定义称sns_nsn为序列{zn}n≥1⊂Cn\{z_n\}_{n \ge 1} \subset \mathbb C^n{zn}n≥1⊂Cn的部分和，如果sn=∑j=1nzns_n = \sum_{j=1}^n z_nsn=j=1∑nzn称∑n=1∞zn\sum_{n=1}^{\infty}z_n∑n=1
2022-02-17 02:48:42
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原创 微生物群落控制的理论框架
微生物群落控制的理论框架模型基础识别驱动物种操纵驱动物种原文：A theoretical framework for controlling complex microbial communities.目的：提出一种控制微生物群落的理论框架，使得在这个框架下，可以使用生态网络识别其驱动物种的最小集合，并通过对其进行操作以控制整个群落。模型基础用x(t)∈RNx(t) \in \mathbb R^Nx(t)∈RN表示一个微生物群落在ttt时刻的状态，它是一个NNN维向量，第iii个维度xi(t)x_
2022-02-17 02:48:15
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原创 UA OPTI544 量子光学5 光与介质相互作用：Electric Dipole Selection Rule
UA OPTI544 量子光学5 光与介质相互作用 Multi-level Atoms球面坐标基从氢原子出发，它的Hamiltonian为Ha=P22m−14πϵe2∣r∣2H_a=\frac{P^2}{2m}-\frac{1}{4 \pi \epsilon}\frac{e^2}{|\textbf r|^2}Ha=2mP2−4πϵ1∣r∣2e2Interaction energy为Vext=−er⋅EV_{ext}=-e \textbf r \cdot \textbf EVext=−er⋅
2022-02-15 07:57:44
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原创 UA MATH524 复变函数3 复变函数的极限与可微性
UA MATH524 复变函数3 复变函数及其极限复数域上的集合复变函数的极限连续性部分和与级数简介复数域上的集合复变函数的极限连续性部分和与级数简介
2022-02-14 12:46:08
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