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RSS订阅原创 There is always a bigger fish
<br /> <br /> Always A Bigger Fish 不但是电影情节中的经典桥段，也是各种恶搞的灵感来源——小鱼总是被大鱼吃掉，而大鱼上面总还有更大的鱼。久而久之，聪明的大鱼或许就不会去吃小鱼了，否则按照传统剧情，它身后会出现一条更大的鱼。一个有趣的问题出现了：倘若所有的鱼都是理性的，那会出现怎样的情况呢？<br /> 让我们把问题重新叙述一下。假设有 n 条鱼，它们从小到大依次编号为 1, 2, …, n 。我们规定，吃鱼必须要严格按顺序执行。也就是说，大鱼只能吃比自己
2010-11-03 17:05:00
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原创 趣题：面积为1的凸多边形总能放进一个面积为2的矩形里
<br />证明：任意给定一个面积为 1 的凸多边形，我们总能把它放进一个面积为 2 的矩形里。<br />注意，这里“凸多边形”的条件是必需的——如果图形不是凸的，很容易想出反例来。<br /> <br /><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />容易想到，对于面积为 1 的三角形来说，结论是成立
2010-11-02 16:42:00
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原创 Conway常数是怎么得来的？
<br /> 在所有寻找数字规律的谜题中，下面这个难题可能是最有意思的题目之一了：<br />1, 11, 21, 1211, 111221, 312211, 13112221, 1113213211, ⋯⋯<br />上面这个数列有什么规律？<br /> 若你是第一次听到这个问题，你一定会非常喜欢问题的答案：下一个数是对上一个数的描述，比方说 1211 里有 “ 1 个 1 ， 1 个 2 ， 2 个 1 ” ，那么 111221 就是它的下一个数。通常我们把这个数列叫做“外观数列”。<br
2010-11-02 14:16:00
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原创 比乘法更大的是乘方，比乘方更大的是什么？
<br /> 小学时，老师说，由于生活中经常需要把同一个数加很多很多次，因此人们发明了乘法。 a × b 就表示 b 个 a 相加。初中时，老师说，由于生活中经常需要把同一个数乘很多很多次，因此人们发明了乘方。 a ^ b 就表示 b 个 a 相乘。令人失望的是，到了高中时，我们并没有学到更牛 B 的运算符号；大学都快学完了，似乎也没见到乘方升级的苗头。乘方之上究竟是什么？下面，有请今天的主角——超级幂——登场！<br /> 很容易想到，比乘方更大一级的运算就是把 b 个 “a 次方” 重叠起来
2010-10-27 10:43:00
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原创 画圈圈和画叉叉的区别
<br /> 给你一张纸，要求你在上面画尽可能多的圆圈，使得所有圆圈都不相交。你最多能画多少个？<br /> 显然，你可以画无穷多个圆圈。事实上，你可以画不可数个圆圈——只需要画出一系列半径长均为无理数的同心圆即可。由于每两个无理数之间都夹有有理数，因此任意两个圆都没挨在一块儿。<br /> 给你一张纸，要求你在上面画尽可能多的叉，使得所有的叉都不相交。你最多能画多少个？<br /> 你可以画无穷多个不相交的叉。画法有很多，下图便是一种方案：<br /> <br /> 现
2010-10-25 21:00:00
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原创 能平铺平面，却不能周期性地平铺平面
<br /> 看看自己脚下的地板——虽然正方形、长方形、正六边形等图形都能平铺整个平面，但平铺的方式却非常无聊，不过是同一种模式不断重复罢了。有没有什么“非平凡”的平铺方案呢？下面就给大家看这样一个图形，加上一些限制条件之后，它仍然能够平铺整个平面，不过平铺出来的结果却非常神奇——它并不能通过简单的重复得到，也就是说它不具有周期性。<br /> 下图就是这个传说中的地板砖（及其镜像）：<br /> <br /> 拼接时有两个要求：<br /> (1) 黑色的线条必须连在一起<
2010-10-20 12:29:00
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原创 趣题：三角形内切圆的一个性质
<br /> <br /> 动脑时间咯！搞搞几何题，脑子不生锈。作出任意三角形 ABC 的内切圆 ⊙I ，它与 AC 相切于点 N 。过 N 作 AC 的垂线，与 ⊙I 的另一个交点记作 M （因此 MN 就是这个圆的一条直径）。连接并延长 BM ，与 AC 交于点 L 。求证： CN＝AL 。<br /><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br
2010-10-19 18:29:00
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原创 Cramer悖论：线性代数的萌芽
<br /> 在准备前一篇日志时，我查阅了很多经典的悖论。我发现，虽说数学悖论大多是一些让人越想越糊涂的逻辑思维游戏，但也有不少悖论来自于实实在在的数学问题。在缺乏现代数学工具的年代，这些反直觉的结论和看似不可调和的矛盾让数学家们百思不得其解，那些最难解决的悖论甚至为数学新分支的开创带来了足够的动机。不太为人熟知的 Cramer 悖论就是一个漂亮的例子。<br /> 在描述 Cramer 悖论之前，让我们先来考虑一个简单的情况。两条直线交于一点。反过来，过一点可以做两条不同的直线。事实上，过一点
2010-10-11 15:38:00
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原创 我刚才说的是谎话
<br />（注：本文纯属搞笑，请勿当真）<br />理发师常论：一个理发师只给别人理发。<br />说谎者常论：我刚才说的是谎话。<br />Berry 常论：最小的能用 20 个以内的汉字描述的正整数。<br />万能上帝常论：上帝是万能的，他甚至为人类创造了一个“万能上帝悖论”，搞得大伙儿现在还在纠结中。<br />突击测验常论：老师决定在周一至周五的某一天进行一次出其不意的测验，但是他没有告诉学生。测验当天，所有学生都没有预料到。<br /><br />生日常论：三个人中至少有两个人的生日相同，其
2010-10-10 19:10:00
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原创 《新知客》趣题专栏2010.10
<br />目前，我正在《新知客》杂志上主持一个趣题栏目。每月杂志发行后，我将在 Blog 上同步更新。点击 这里 可以查看往期题目。<br />推理<br />1. 在每一个小题中，我们都按照某种属性把 26 个字母分成了两组。请你找出每个小题中的分组依据。<br /> (1) CEFGHIJKLMNSTUVWXYZ ABDOPQR<br /> (2) AEFHIKLMNTVWXYZ BCDGJOPQRSU<br /> (3) COPSUVWXZ ABDEFGHIJKLMNQRTY<br />
2010-10-09 18:03:00
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原创 UyHiP趣题：100囚犯之黑白手套
<br /> 上个月的 UyHiP 趣题非常妙，个人认为是近几个月里最漂亮的一道谜题了。<br /> 典狱长要和 100 个囚犯玩这么一个游戏。典狱长给每个囚犯发两个手套，一个黑色的，一个白色的。之后，每个囚犯的额头上都会写上一个实数，所有这 100 个实数互不相同。每个囚犯都能看到其他 99 个囚犯前额上所写的数，但不能看到自己的数。接下来，每个囚犯必须独立地决定把哪个手套戴在哪只手上。等到所有囚犯都戴好了手套，典狱长会把他们按照前额上所写的数从小到大地排好，并要求他们手牵着手站成一横排。如
2010-10-02 13:17:00
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原创 Morpion Solitaire的新纪录
<br /> 三年前，我曾经给大家介绍过一个单人版的五子棋游戏—— Morpion Solitaire 。这个游戏通常分作 5T 和 5D 两种规则不同的版本。初始时，棋盘上画有 36 个棋子，它们排成一个空心十字架的形状。接下来，你需要在棋盘上添加一个新的棋子，使得它与某四个已有的棋子连成一条线。如此重复，直到在 5T 或者 5D 的规则下再没有满足要求的走法为止。在 5T 规则中，同一方向上的连线不允许有重合； 5D 规则则更加严格，同一方向上的连线在棋子处相接也是不允许的。由于 Morpion
2010-10-01 00:49:00
474
原创 指数级增长毕竟是指数级增长
<br /> 最近，一道 Google 校园招聘面试题红遍了整个中文网络：<br /> 现在北京有一套房子，价格 200 万，假设房价每年上涨 10% ，一个软件工程师每年固定能赚 40 万。如果他想买这套房子，不贷款，不涨工资，没有其他收入，每年不吃不喝不消费，那么他需要几年才能攒够钱买这套房子？<br /> A. 5年<br /> B. 7年<br /> C. 8年<br /> D. 9年<br /> E. 永远买不起<br /> 并不让人感到意
2010-09-29 12:31:00
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原创 来自圣经的算法
<br /> 《来自圣经的证明》收集了数十个简洁而优雅的数学证明，迅速赢得了大批数学爱好者的追捧。如果还有一本《来自圣经的算法》，哪些算法会列入其中呢？最近，有人在 StackExchange 上发起了提问，向网友们征集那些来自圣经的算法。众人在一大堆入围算法中进行投票，最终得出了呼声最高的五个算法：<br />第五名： BFPRT 算法<br /> 1973 年， Blum 、 Floyd 、 Pratt 、 Rivest 、 Tarjan 集体出动，合写了一篇题为 “Time bounds
2010-09-28 17:42:00
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原创 数学不只是一堆公式，正如天文学不只是一堆望远镜
<br /><br /><br />厌倦数学的人往往以为，数学不过就是一堆公式。可惜他们没有看到这些公式后面的数学之美。今天看到一段 YouTube 视频，第一次听到“数学公式就像天文望远镜”这一绝妙的比喻。于是制作了这张图片，献给所有痴迷的数学爱好者，也献给所有由于各种原因没喜欢上数学的朋友。<br />
2010-09-26 22:44:00
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原创 谬证大全：1+1≠2的n种可能
<br /> 最近看到几个有趣的数学谬证，想写下来与大家分享；结果写到这个又想到那个，一写就写个没完，于是想到干脆做一篇谬证大全，收集各种荒谬的证明。<br /> 如果你有什么更棒的“证明”，欢迎来信与我分享，我会更新到这篇日志中。我的邮箱是 matrix67 at tom.com ，或者 gs.matrix67 at gmail.com 。<br />1=2？史上最经典的“证明”<br /> 设 a = b ，则 a·b = a^2 ，等号两边同时减去 b^2 就有 a·b - b^2
2010-09-25 23:52:00
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原创 趣题：过纸张外的一点作直线
<br /><br />晚饭之后一起来动动脑吧。纸上有两条夹角很小的直线 a 、 b ，它们在纸外交于一点 O 。在纸上还有一点 P ，大致位置如上图所示。请你利用圆规和（没有刻度的）直尺作出一条同时过 O 、 P 的直线。当然，你不能把图作到纸张外面去。<br /><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <b
2010-09-16 19:22:00
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原创 那些神秘的数学常数
<br /> 我一直觉得，数学中的各种常数是最令人敬畏的东西，它们似乎是宇宙诞生之初上帝就已经精心选择好了的。那一串无限不循环的数字往往会让人陷入一种无底洞般的沉思——为什么这串数字就不是别的，偏偏就是这个样呢。除了那些众所周知的基本常数之外，还有很多非主流的数学常数，它们的存在性和无理性同样给它们赋予了浓重的神秘色彩。今天，就让我们一起来看一看，数学当中到底有哪些神秘的无理常数。<br /> <br />√2 ≈ 1.4142135623730950488<br /> 古希腊的大哲学家 Pyt
2010-09-15 15:56:00
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原创 《新知客》趣题专栏2010.09
<br />目前，我正在《新知客》杂志上主持一个趣题栏目。每月杂志发行后，我将在 Blog 上同步更新。点击 这里 可以查看往期题目。<br />推理<br />1. 在每一个小题中，我们都列出了八种物品，其中前面四种物品都有一个共同点，而这个共同点是后面四种物品所不具有的。请您找出这个共同点来。<br />(1) 小肠、地毯、水蜜桃、贵宾犬 | 牙刷、足球、藤椅、冰块<br />(2) 电线、棋子、指示灯、扇形图 | 闹钟、绳子、条形码、井字棋<br />(3) 电池、钥匙、酵母、书签 | 火柴、
2010-09-12 19:05:00
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原创 视频推荐：WORDS
<br /><br /> <br />这段唯美的视频似乎是由大千世界中的各种场景毫无意义地拼接而成的，而事实上却并非如此。视频中的片段是精心选择的，它们描述了生活中最常见的一些单词。这就给大家留下了一个小小的谜题：这段视频究竟是以哪些单词为主题的？你能找全吗？<br /><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />答案：视频中的片段依次讲述的是 Play, Blow, Break
2010-09-11 08:54:00
274
原创 趣题：半径相等的半圆和圆 内接正方形的面积之比
<br /> <br />在半径相等的半圆和圆中各画一个内接正方形。这两个正方形的面积之比是多大？有什么简单些的算法吗？<br /><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br />答案：两个正方形的面积之比是 2:5 。考虑 12 个单位小正方形排成的一个十
2010-09-10 16:32:00
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原创 用数学解赌博问题不稀奇，用赌博解数学问题才牛B
<br /> 有一个经典的概率问题：平均需要抛掷多少次硬币，才会首次出现连续的 n 个正面？它的答案是 2^(n+1) - 2 。取 n=2 的话，我们就有这样的结论：平均要抛掷 6 次硬币，才能得到两个连续的正面。或许这个期望次数比你想象中的要多吧。我们不妨试着来验证一下这一结果。由简单的递推可得，所有 1 都不相邻的 k 位 01 串有 Fk+2 个，其中 Fi 表示 Fibonacci 数列中的第 i 项。而“抛掷第 k 次才出现连续两个正面”的意思就是， k 位 01 串的末三位是 011 ，
2010-09-09 15:23:00
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原创 100个囚犯和灯泡的那些事儿（下）
<br /> 即使灯泡的初始状态不定，当 n=2 时，两个人也能保证都知道对方进过房间。假设双方手中各有两个球，囚犯 A 总是试图把自己的小球放进盒子，囚犯 B 总是试图把小球取走。如果 B 拿到了 4 个小球，他就知道了 A 一定来过房间；而只要 A 放好的小球被拿走了， A 也知道 B 进过了房间。<br /> 但是，当 n>2 时，不存在这样的协议，使得有两个人都能获知所有人都已进过房间。 Peter Winkler 的 Mathematical Puzzles: A Connoisse
2010-09-05 08:54:00
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原创 100个囚犯和灯泡的那些事儿（上）
<br /> 说有 100 个囚犯分别关在 100 间牢房里。牢房外有一个空荡荡的房间，房间里有一个由开关控制的灯泡。初始时，灯是关着的。看守每次随便选择一名囚犯进入房间，但保证每个囚犯都会被选中无穷多次。如果在某一时刻，有囚犯成功断定出所有人都进过这个房间了，所有囚犯都能释放。游戏开始前，所有囚犯可以聚在一起商量对策，但在此之后它们唯一可用来交流的工具就只有那个灯泡。他们应该设计一个怎样的协议呢？<br /> 这个经典的问题在网上转载无数，题目描述被好事者们改得天花乱坠，甚至加进了“这盏灯永远
2010-09-05 00:12:00
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原创 趣题：寻找隐藏的公共秘密
<br /> 刚刚看到一道智力题，颇有些意思，说来给大家听听。我把题意稍微改了一下，原题中的 XX 侠是一个（不太容易解释的） lynch mob 。<br /> 某座城市里发生了一起命案，已经确定凶手是 8 个嫌疑犯之一。经过很多可靠的调查，城南和城北的两名警探各自独立地把嫌疑犯的名单缩减到了两个人。现在，两名警探正在通电话，他们试图对比一下彼此的调查结果。如果他俩的嫌疑犯名单中正好只有一处重合，他们就能确定出凶手的身份了。但问题是，这座城市里有一个伸张正义、凌驾于法律之上的 XX 侠，他正在
2010-09-03 07:36:00
254
原创 酷图分享：I ❤ Mathematics
<br />和大家分享一张超级帅的 T 恤印花，数学各个分支领域中最深刻最神奇的结论在此汇聚一堂，组成了一个心形。<br />你能从中认出多少个经典的数学研究对象和结论？<br /><br />来源：http://shirt.woot.com/Blog/ViewEntry.aspx?Id=14093
2010-08-28 23:30:00
405
原创 Futurama S06E10中的数学问题
<br /> <br /> 经典 Geek 动画 Futurama 上周播出了第 6 季的第 10 集 The Prisoner of Benda 。在这一集中，教授 Farnsworth 发明了一种“心灵对换机”，它可以把两个人的思想互相对换，使得 A 的大脑跑进 B 的身体里，而 B 的大脑则跑到 A 的身体里。 Farnsworth 和 Amy 都想得到对方的身体，便成为了这台机器的第一对实验者。等到他们爽够了想换回来后， Farnsworth 却发现了一个严重的问题：已经互换过大脑的两
2010-08-23 21:14:00
787
原创 切片引理和两个意想不到的应用
<br /> 考考你的立体几何直觉：用一系列间距相等的平行平面把一个球体切成厚度相同的薄片，这些薄片的侧面积都相等吗？<br /> <br /><br /> 是的。用平行平面把球体截成一个个切片，如果切片的厚度都相同，那么它们的侧面积也都相同，不管这些切片位于球体的什么位置。也就是说，切片的侧面积是与切片的厚度成正比的。推导这个惊人的结论非常适合用作定积分计算旋转体侧面积的练习题。圆的表达式是 √1 - x^2 ，套用公式 ∫(a..b) 2π·f(x)·√1 + f'(x)^2 dx 即可发
2010-08-17 21:49:00
751
原创 《新知客》趣题专栏2010.08
<br />目前，我正在《新知客》杂志上主持一个趣题栏目。每月杂志发行后，我将在 Blog 上同步更新。点击 这里 可以查看往期题目。<br />推理<br />1. 下一个图形是什么？<br /><br /> <br />2. 小 A 和小 B 玩游戏。小 A 取出一副扑克牌并去掉大小王，剩下红色的牌和黑色的牌各 26 张。洗好牌后，小 A 依次翻开每一张牌，让小 B 看到牌的颜色。小 B 可以在任意时刻打断小 A ，并打赌“下一张牌是红色”。如果下一张牌真是红色，小 A 给小 B 一块钱；如果下一张
2010-08-16 20:17:00
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原创 选举制度的学问
<br /> 完美的制度是永远不存在。我们可能会产生一种觉得某某制度很完美的错觉，这只是因为我们习惯了它而已。若把这个制度拿出来仔细琢磨琢磨，你会发现它还存在太多的问题。<br /> 我们习惯了“多数票当选”的选举制度。每个投票者把自己手中的票投给其中一位候选人，得票数最多的候选人即获胜，因为他的支持者最多。这看上去似乎挺合理。但在实际生活中，这种选举制度并不见得总是合理的——得票数最多的候选人很可能并不是大家喜欢的候选人。有时候，获胜的候选人竟会是最不受欢迎的那个人。<br /> 假设
2010-08-15 01:47:00
753
原创 新闻二则：P≠NP有望得证 魔方问题告破
<br /> 昨天的消息：一位 HP 的研究员 Vinay Deolalikar 宣称自己证明了 NP 问题，得出了 P≠NP 的结论。 P 是否等于 NP ，这是计算机科学领域中最困难的问题之一，也是意义最深远的问题之一，长期以来一直备受争议。如果这个问题获得解决，将会在各个科学领域中引起轰动。 Vinay Deolalikar 的整个证明有 100 多页，详细的论文可以在这里看到：<br /> http://www.win.tue.nl/~gwoegi/P-versus-NP/Deola
2010-08-10 07:37:00
758
原创 不走寻常路：寻找线段的中点
<br /> 一名初三的学生刘小坤给我提出了这样的问题：<br />给你一条线段 AB ，再预先给你一条平行于线段 AB 的直线 l 。请只用直尺作出线段 AB 的中点。<br /> <br /> <br /> <br /> 你能想到该怎么做吗？<br /><br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /
2010-08-08 14:13:00
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原创 惊人的答案：平均要取多少个(0,1)中的随机数才能让和超过1
<br /> 数学常数最令人着迷的就是，它们常常出现在一些看似与之毫不相干的场合中。 随便取一个 0 到 1 之间的数，再加上另一个 0 到 1 之间的随机数，然后再加上一个 0 到 1 之间的随机数⋯⋯直到和超过 1 为止。一个有趣的问题：平均需要加多少次，才能让和超过 1 呢？答案是 e 次。<br /> <br /> <br /> 为了证明这一点，让我们先来看一个更简单的问题：任取两个 0 到 1 之间的实数，它们的和小于 1 的概率有多大？容易想到，满足 x+y<br />
2010-08-08 13:17:00
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原创 Boolean Hair Logic
<br /><br />来源：http://www.toothpastefordinner.com/index.php?date=071310
2010-07-14 23:08:00
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原创 别用 pi 了，用 tau 吧！
<br /> 虽说数学家们早已注意到了把圆周率定义为周长和直径之比的种种不爽，但在论文中正式地提出了这一点还是造成了不小的轰动。 2001 年， Bob Palais 在 The Mathematical Intelligencer 杂志上发表了一篇题为 pi is wrong 的论文，正式对这一历史错误宣战。不知为什么，最近这篇论文来了个回锅热，重新在网络上火了起来。人们普遍赞同 Bob Palais 的观点：圆周率的定义完全是一个历史错误，圆周率本应该为周长与半径之比的，因为半径才是圆的核心要素。
2010-07-09 15:30:00
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原创 《新知客》趣题专栏 2010.07
<br />从本月起，我开始在《新知客》杂志上主持一个趣题栏目。每月杂志发行后，我将在 Blog 上同步更新。<br /> <br />推理：<br />1. 老王熬夜工作到凌晨 2 点多时，实在不行了，倒在床上就开始呼呼大睡。睡觉前他看了一下闹钟，发现了一件有趣的事情——时钟上的时针和分针正好重合在了一起。早晨 8 点多时，老王被闹钟闹醒。他看了一下闹钟，又发现了一件有意思的事——此时时钟上的时针和分针正好指向完全相反的方向。老王究竟睡了多久呢？不足 6 个小时， 6 个多小时，还是正好 6 个小时？<
2010-07-08 15:16:00
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原创 推荐视频：Portal 2中的新元素
<br />对于我来说，在刚刚结束的 E3 上，最激动人心的莫过于 Portal 2 的消息了。刚才， Valve 的 YouTube 账户更新了六段 Portal 2 的宣传视频，里面介绍了六个振奋人心的新元素；我把它们传到土豆网上了，方便大家无障碍观看。<br /> <br />Aerial Faith Plate<br /><br /><br /> <br />Excursion Funnel<br /><br /> <br /> <br />Thermal Discouragement Beam
2010-07-02 15:31:00
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原创 推荐视频：Portal 2中的新元素
<br />对于我来说，在刚刚结束的 E3 上，最激动人心的莫过于 Portal 2 的消息了。刚才， Valve 的 YouTube 账户更新了六段 Portal 2 的宣传视频，里面介绍了六个振奋人心的新元素；我把它们传到土豆网上了，方便大家无障碍观看。<br /> <br />Aerial Faith Plate<br /><br /><br /> <br />Excursion Funnel<br /><br /> <br /> <br />Thermal Discouragement Beam
2010-07-02 15:31:00
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