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高等数学学习笔记——高等数学(五)学习笔记汇总

高等数学五(共18讲)课程大纲及对应的学习笔记第一讲 对弧长的曲线积分的概念与计算 (1、问题引入 2.1、对弧长曲线积分的概念——积分的定义 2.2、对弧长曲线积分的概念——实际意义与性质 3、对弧长曲线积分的计算 4.1、对弧长曲线积分的应用——面积与质心 4.2、对弧长曲线积分的应用——对质点的引力)https://blog.csdn.net/hpdlzu80100/article/details/106172323第二讲 对坐标的曲线积分的概念与计算 (1、问题引入 2、对坐标...

2020-06-01 19:57:40

高等数学学习笔记——第一百讲——微分方程稳定性初步

一、问题引入——如何预测种群数量的变化规律?如何控制卫星运行的稳定性?二、稳定性的概念1. 一阶微分方程解的变化2. 一阶微分方程组解的变化3. 一阶方程的平衡点及稳定性(平衡点、奇点)、稳定(渐进稳定)4. 一阶微分方程组平衡点的稳定性三、线性系统平衡点的稳定性1. 一阶常系数齐次线性自治系统2. 线性自治系统平衡点的稳定性的判定(不相等的负实根、不相等的正实根、异号实根)...

2020-06-01 19:23:24

高等数学学习笔记——第九十九讲——一阶线性微分方程组

一、问题的引入——兰彻斯特作战模型(作战双方的兵员数量)和军备竞赛模型(甲乙两国的军事力量)二、线性微分方程组模型1. 兰彻斯特作战模型(兰彻斯特基本战斗模型)2. 两国军备竞争模型三、线性微分方程组基本概念1. (含有两个未知函数的)一阶常系数线性非齐次微分方程组、齐次线性微分方程组2. 初值问题、方程组的特解3. 齐次线性微分方程组解的结构(通解)4. 非齐次线性微分方程组解的结构(通解+特解)...

2020-06-01 18:26:49

高等数学学习笔记——第九十八讲——一般函数的傅里叶级数

一、问题的引入——傅里叶级数是“拼接”分段函数的工具二、一般函数的傅里叶级数1. 以2l为周期的函数的傅里叶级数2. 以2l为周期的函数的傅里叶展开公式3. 奇函数对应正弦级数;偶函数对应余弦级数4. 定义在任何有限区间上的函数的傅里叶级数展开方法——方法一5.定义在任何有限区间上的函数的傅里叶级数展开方法——方法二三、傅里叶级数的复数形式1. 利用欧拉公式,可将傅里叶级数表示为复数形式...

2020-06-01 12:09:55

高等数学学习笔记——第九十七讲——函数的傅里叶级数展开

一、问题的引入二、傅里叶级数的收敛定理1. 迪利克雷(狄利克莱)收敛定理三、正弦级数与余弦级数四、吉布斯现象

2020-06-01 11:45:21

高等数学学习笔记——第九十六讲——傅里叶级数的概念

一、问题的引入——矩形波是否可用三角函数来表示?1. 周期函数示例:心电图、方波、锯齿波形、三角波2. 对自然界的深入研究是数学发现最丰富的源泉二、三角函数系的正交性1. 三角级数的定义(三角级数的系数)问题:函数展开成三角级数的条件是什么?若能展成三角级数,三角级数的系数如何确定?2. 三角函数系的概念;三角函数的正交性三、傅里叶系数与傅里叶级数1. 若函数可展成三角级数,且三角级数可逐项积分,则该三角级数的系数可由公式确定...

2020-05-31 19:33:00

高等数学学习笔记——第九十五讲——函数的幂级数展开

一、问题的导入——函数展开成幂级数的条件是什么?若能展开,如何确定系数与收敛区间?二、泰勒级数的概念1. 系数的确定2. 泰勒级数、麦克劳林级数的定义三、泰勒级数展开的条件1. 泰勒级数展开的充要条件2. 泰勒级数展开的充分条件四、泰勒级数展开的方法1. 公式法2. 用公式法将函数展开为麦克劳林级数的步骤3. 间接法——逐项求导数或者逐项求积分4. 间接法——待定系数、幂级数...

2020-05-31 17:14:04

高等数学学习笔记——第九十四讲——幂级数的收敛域与和函数

一、问题的导入——最简单的函数(n次多项式),最简单的函数项级数(无穷次多项式)二、幂级数的概念1. 幂级数的定义(幂级数的系数、一般形式、简化形式)2. 幂级数收敛域的计算三、阿贝尔定理1. 阿贝尔定理:若级数在某处收敛,则可确定一个区间,在此区间内绝对收敛;若级数在某处发散,则可确定两个区间,在此区间内发散四、收敛半径与收敛域1. 若幂级数既有不等于零的收敛点,又有发散点,则可确定收敛半径、收敛区间、收敛域2. ...

2020-05-31 14:42:43

高等数学学习笔记——第九十三讲——函数项级数的解析性质

一、问题的引入——有限个函数和的极限运算、求导运算和积分运算中,分别可以与求和运算交换次序,无穷和中能否交换次序?二、和函数的连续性1. 复习:函数项级数一致收敛的定义和判别法2. 若级数各项连续且级数一致收敛,则和函数也连续。此时,极限运算和求和运算可以交换次序三、函数项级数的逐项可积性1.若级数各项连续且级数一致收敛,则和函数可积。此时,积分运算和求和运算可以交换次序四、函数项级数的逐项可导性1.若级数一致收敛,各项都具...

2020-05-30 23:17:18

高等数学学习笔记——第九十二讲——函数项级数收敛与一致收敛

一、问题的引入——数值级数、比值与根值判别法二、函数项级数收敛概念1. 函数序列(函数列)、函数序列在某点收敛、函数序列的极限函数、收敛域2. 函数项级数、级数在某点收敛、级数的收敛点、收敛域、级数发散、级数的发散点3. 级数的和函数、函数序列与函数项级数收敛性的关系三、函数项级数一致收敛概念1. 函数序列一致收敛的定义2. 函数序列一致收敛的几何解释3. 函数项级数一致收敛的定义四、...

2020-05-30 22:12:17

高等数学学习笔记——第九十一讲——向量场的微积分基本定理

一、问题的引入——格林公式、高斯公式、斯托克斯公式二、向量场的积分1. 向量场沿曲线的积分(对弧长的曲线积分、对坐标的曲线积分)2. 向量场沿曲面的积分(对面积的曲面积分、对坐标的曲面积分)三、梯度、散度与旋度1. 梯度(梯度场)2. 散度(通量密度、无源场)3. 散度与旋度的运算法则四、积分公式的向量形式1. 微积分基本公式(定积分、曲线积分)2. 通量计算3. 环流量的计算...

2020-05-29 19:59:07

高等数学学习笔记——第九十讲——斯托克斯公式

一、问题的引入——河流产生的漩涡强度如何描述?二、斯托克司公式1. 斯托克司公式(右手法则)2. 斯托克司公式的证明思路:借助格林公式3. 斯托克司公式的其他形式(行列式表示法、面积微元表示发)三、斯托克司公式的应用1. 计算曲线积分2. 空间曲线积分与路径无关的条件四、旋度1. 向量场沿曲线的环流量2. 旋度:向量场绕单位向量的环流量密度3. 旋度的力学意义...

2020-05-29 11:33:35

高等数学学习笔记——第八十九讲——高斯公式

一、问题引入——平面上的通量密度(散度)可借助格林公式进行计算,空间中则可借助高斯公式进行计算,所以说高斯公式是格林公式的推广二、高斯公式1. 高斯公式2. 高斯公式的证明三、高斯公式的应用1. 利用高斯公式得到的重要结论;二维单连通区域(二维单连通域)2. 对坐标曲面积分的“变形原理”3. 流速场流过柱面的侧面的流量的计算示例四、散度1. 相关概念:流速场、流量、有源、有汇、流...

2020-05-25 23:04:08

高等数学学习笔记——第八十八讲——对坐标的曲面积分的概念与计算

一、问题的引入——如何计算一般流体通过曲面的流量?二、对坐标曲面积分的概念1. 曲面积分中所考虑的曲面是指可以定向的曲面,即双侧曲面,而不包含单侧曲面(非有向曲面),如莫比乌斯带2. 流量的定义与计算3. 流量计算可表示为对坐标的曲面积分,组合型曲面积分4. 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)的定义(被积函数、积分曲面、第二类曲面积分的向量形式)5. 第二类曲面积分的性质:积分曲面的有向性(积分曲面反向,则曲面积分的值反号);对积...

2020-05-24 13:39:44

高等数学学习笔记——第八十七讲——对面积的曲面积分的概念与计算

一、问题的引入——估算涂料成本(求曲面面积)、确定平衡位置(求曲面的质心)二、对面积的曲面积分的概念1. 曲面片质量的计算方法(分割取近似、作和求极限)2. 对面积的曲面积分(第一类曲面积分)、面积元素、被积函数、积分曲面、质量、面积3. 以平代曲计算曲面面积4. 对面积的曲面积分的性质:积分的存在性、对积分域的可加性、线性性三、对面积的曲面积分的计算四、对面积的曲面积分的应用...

2020-05-23 12:55:34

高等数学学习笔记——第八十六讲——积分与路径无关的条件

一、问题的引入——保守场的特征是什么?二、保守场1. 保守场的定义三、积分与路径无关的等价刻画(路径无关、原函数、势函数)四、原函数的计算五、全微分方程(全微分方程的通解)...

2020-05-20 23:13:56

高等数学学习笔记——第八十五讲——格林公式

一、问题的引入——如何测量梯田与湖泊的面积?二、简单区域的格林公式1. 简单区域:既是X型区域也是Y型区域2. 简单区域上的格林公式3. 格林公式的条件4. 计算示例三、一般区域的格林公式1. 单连通区域与多连通区域2. 单连通区域上的格林公式3. 计算示例四、区域面积的计算——GPS面积测量仪的数学原理...

2020-05-19 21:42:31

高等数学学习笔记——第八十四讲——对坐标的曲线积分的概念与计算

一、问题的引入——变力做功如何计算?向量场中的环量与流量如何计算?二、对坐标曲线积分的概念1. 向量场(定常向量场),向量场可用向量值函数表示2. 变力沿曲线所作的功的求解思想:分割取近似,作和求极限。求解方法:转换为对坐标的曲线积分3. 对坐标的曲线积分(第二类曲线积分)的概念(有向光滑曲线弧、任意分割、任意取点、被积函数、积分弧段、积分曲线)4. 对坐标曲线积分的性质1:积分路径反向后,曲线积分反号5....

2020-05-18 14:34:33

高等数学学习笔记——第八十三讲——对弧长的曲线积分的概念与计算

一、问题的引入——如何计算圆周和维维安尼曲线之间的柱面片的面积?二、对弧长曲线积分的概念1. 空间曲线型构件的质量(分割取近似、作和求极限)2. 对弧长的曲线积分的定义(第一型曲线积分、被积函数、积分路径、弧长元素)3. 平面上的对弧长的曲线积分的定义4. 对弧长的曲线积分的实际意义5. 对弧长的曲线积分的性质(线性性、对积分曲线的可加性)三、对弧长曲线积分的计算1. 基本思路(将曲线积分的计算转化为定积分的计算...

2020-05-17 12:43:52

高等数学学习笔记——高等数学(四)学习笔记汇总

高等数学四(共21讲)课程大纲及对应的学习笔记第一讲 多元函数的概念 (1.问题引入 2.1.点集的基本知识——邻域的概念 2.2.点集的基本知识——区域的概念 3.多元函数定义 4.二元函数的几何表示)https://blog.csdn.net/hpdlzu80100/article/details/105326950第二讲 多元函数的极限与连续 (1.问题引入 2.1.多元函数的极限——极限的定义 2.2.多元函数的极限——极限的存在性 3.多元函数的连续性 4.闭区域上连续函数的性质)

2020-05-09 23:12:06

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