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期末复习

期末复习  学了一个学期的点集拓扑,大家对它应当有了更多的了解,更深刻的认识.大家掩卷回忆一下,点集拓扑学的主要内容有哪些?沿着什么思路研究?研究手法是什么?  下面把这几个方面的内容理一下,仅供参考.  一、点集拓扑学的主要内容:  1.一般拓扑空间:  (1)任何点集只要定义了拓扑,就成了拓扑空间.任何拓扑空间中均有开集、基、闭集、闭包.任何点集均可能有凝聚点,任何点均有邻

2006-10-25 15:49:00

§8.2 度量空间的完备性与紧致性

§8.2 度量空间的完备性与紧致性  定义8.2.1 设(X,ρ)是一个度量空间,ε>0是一个实数.X的有限子集A称为一个ε网,如果对于任何x∈X有ρ(x,A)0,X有一个ε网,则称度量空间(X,ρ)是完全有界的.  一个度量空间是完全有界明显蕴涵着它是有界的.反之不然,例如包含着无限多个点的离散度量空间是有界的但不是完全有界的  定理8.2.1 设(X,ρ)是一个度量空间,则(X,ρ

2006-10-25 15:48:00

§8.1 度量空间的完备化

第8章 完备度量空间(简介)§8.1 度量空间的完备化  定义8.1.1 设(X,ρ)是一个度量空间.X中的一个序列,如果对于任意给定的实数ε>0,存在整数N>0,使得当i,j>N时,有,则称序列是一个Cauchy序列.  如果X中的每一个Cauchy序列都收敛,则称度量空间(X,ρ)是一个完备的度量空间  易见度量空间中的每一个收敛序列都是Cauchy序列,但反之不然. 

2006-10-25 15:47:00

§7.6 局部紧致空间,仿紧致空间

§7.6 局部紧致空间,仿紧致空间  本节重点:  掌握局部紧致空间、仿紧致空间的定义.性质;  掌握局部紧致空间、仿紧致空间中各分离性公理空间之间的关系;  掌握局部紧致空间、仿紧致空间与紧致空间之间的关系.  定义7.6.1 设X是一个拓扑空间,如果X中的每一个点都有一个紧致的邻域,则称拓扑空间X是一个局部紧致空间.  由定义立即可见,每一个紧致空间都是局部紧致空间,因

2006-10-25 15:47:00

§7.5 度量空间中的紧致性

§7.5 度量空间中的紧致性  本节重点:掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系.  由于度量空间满足第一可数性公理,同时也是空间,所以上一节中的讨论(参见表7.2)因此我们,一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间,也当且仅当它是序列紧致空间.但由于度量空间不一定就是Lindeloff空间,因此从定理7.4.2并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧

2006-10-25 15:46:00

§7.4 几种紧致性以及其间的关系

§7.4 几种紧致性以及其间的关系  本节重点:掌握新定义的几种紧致性的定义及它们之间的关系.  读者已从数学分析的学习中知道了以下命题:实数空间中的一个子集A如果满足以下条件(l)~(4)中的任何一条,则满足其他的几条.  (l)A是一个有界闭集;  (2)A的每一个开覆盖都有有限子覆盖;  (3)A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中;  (4)A中的每一个序列都有收敛的

2006-10-25 15:45:00

§7.3 n维欧氏空间中的紧致子集

§7.3 n维欧氏空间中的紧致子集  定义7.3.1 设(X,ρ)是一个度量空间,AX.如果存在实数M>0使得ρ(x,y)<M对于所有x,y∈A成立,则称A是X的一个有界子集;如果X本身是一个有界子集,则称度量空间(X,ρ)是一个有界度量空间.  定理7.3.1 紧致度量空间是有界的.  证明 设(X,ρ)是一个紧致度量空间.由球形邻域构成的集族{B(x,1)|x∈X}是X的一个开覆盖

2006-10-25 15:44:00

§7.2 紧致性与分离性公理

§7.2 紧致性与分离性公理  本节重点:  掌握紧致空间中各分离性公理的关系;  掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质.  在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了.此外在本节的后半部分,我们给出从紧致空间到Hausdorff空间的连续映射的一个十分重要的性质.  定理7.2.1 设X是一个Hau

2006-10-25 15:43:00

§6.6 可度量化空间

§6.6 可度量化空间  本节重点:掌握三个定理的结论(前两个定理的证明不要求)  先回忆一下在第二章中的可度量化空间的定义.一个拓扑空间称为是可度量化的,如果它的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来.我们已经在许多章节中研究过度量空间的一些拓扑性质,这些拓扑性质当然也是可度量化空间所具有的.在这一章中我们部分地回答具有什么样的拓扑性质的拓扑空间是可度量化空间这个问题.  定理6.6.1[

2006-10-25 15:42:00

§7.1 紧致空间

第7章 紧致性§7.1 紧致空间  本节重点:  掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法.(这些方法哪些是充要条件);  掌握紧致性是否是连续映射可保留的,是否是可遗传的、有限可积的.  在§5.3中,我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间,即Lindeloff空间.现在来仿照这种做法,即将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”,以定

2006-10-25 15:42:00

§6.5 分离性公理与子空间,(有限)积空间和商空间

§6.5 分离性公理与子空间,(有限)积空间和商空间  本节重点:  掌握各分离性公理是否是连续映射所能保持的性质,是否是可遗传的,可积的.  本书正文中提到的所有的分离性公理有(即Hausdorff),(即Tychonoff),以及正则和正规等,它们都是经由开集或者经由通过开集定义的概念来陈述的,所以它们必然都会是拓扑不变性质.但是我们还是愿意完全形式地作一番验证,但只是以一种情形为

2006-10-25 15:41:00

§6.4 完全正则空间,Tychonoff空间

§6.4 完全正则空间,Tychonoff空间  本节重点:  掌握完全正则空间与空间的定义;  掌握正则,正规及完全正则空间之间的关系.  定义6.4.1 设X是一个拓扑空间.如果对于任意x∈X和X中任何一个不含点x的闭集B,存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)=0以及对于任何y∈B有f(y)=1,则称拓扑空间X是一个完全正则空间.  完全正则的空间称为Tychon

2006-10-25 15:40:00

§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理

§6.3Urysohn引理和Tietze扩张定理  本节重点:  掌握Urysohn引理的内容(证明不要求);  掌握定理6.3.2的证明方法.  定理6.3.1 [Urysohn引理]设X是一个拓扑空间,[a,b]是一个闭区间.则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B,存在一个连续映射f:X→[a,b]使得当x∈A时f(x)=a和当x∈B时f(x)=b. 

2006-10-25 15:39:00

§6.1 ,Hausdorff空间

第6章 分离性公理§6.1 ,Hausdorff空间  本节重点:  掌握空间的定义及它们之间的不同与联系;  掌握各空间的充要条件;  熟记常见的各种空间.  现在我们回到我们在第二章中提出来的什么样的拓扑空间的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来这一问题.为了回答这个问题势必要求我们对度量空间的拓扑性质有充分的了解.读者将会发现,本章中所提到的诸分离性公理,实际上是模仿度量

2006-10-25 15:38:00

§6.2 正则,正规,空间

§6.2 正则,正规,空间  本节重点:  掌握各空间的定义、充要条件及之间的联系.  我们先将点的邻域的定义推广到对于集合有效.  定义6.2.1 设X是一个拓扑空间,A,UX.如果A包含于U的内部,即A,则称集合U是集合A的一个邻域.如果U是A的一个邻域,并且还是一个开集(闭集),则称U是A的一个开(闭)邻域.  定义6.2.2 设X是一个拓扑空间.如果X中的任何一个点和任

2006-10-25 15:38:00

§5.3 Lindeloff空间

§5.3 Lindeloff空间  本节重点:  掌握Lindeloff空间的定义;  掌握Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系;  掌握Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性.  我们先引进一些术语.  定义5.3.1 设A*是一个集族,B是一个集合.如果则称集族A*是集合B的一个覆盖,并且当A*是可数族或有限族时,分别称集

2006-10-25 15:37:00

§5.2 可分空间

§5.2 可分空间  本节重点:  掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系;  掌握稠密子集的定义及性质.  定义5.2.l 设X是一个拓扑空间,DX.如果D的闭包等于整个拓扑空间X,即=X,则称D是X的一个稠密子集.  以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义.  定理5.2.1 设X是一个拓扑空间,D是X中的一个稠密子集.

2006-10-25 15:35:00

§5.1 第一与第二可数性公理

第5章 有关可数性的公理§5.1 第一与第二可数性公理  本节重点:  掌握满足第一与第二可数性公理的空间的定义及相互间的关系;  掌握满足第一与第二可数性公理的空间有关连续映射的不变性、有限可积性、可遗传性等问题;  掌握满足第一可数性公理的空间中在一点邻近的性质及序列的性质;  掌握常见的空间哪些空间是第一可数性公理空间,哪些是第二可数性公理空间.  从§2.6节的

2006-10-25 15:34:00

§2.6 基与子基

§2.6 基与子基  本节重点:  掌握基与子基的概念,点的邻域与基之间的关系;  掌握基、子基与开集的关系;  掌握如何用基表示开集.  在讨论度量空间的拓扑的时候,球形邻域起着基本性的重要作用.一方面,每一个球形邻域都是开集,从而任意多个球形邻域的并也是开集;另一方面,假设U是度量空间X中的一个开集.则对于每一个x∈U有一个球形邻域B(x,ε)U,因此.这就是说,一个集合是

2006-10-25 15:33:00

半期复习

半期复习  主要复习两个内容:拓扑学研究的思路与成果;常见证明方法.  一、研究的思路与成果  1.预备知识  (1)集合的三种运算的定义与证明方法:    并、交、差:A∪B、A∩B、A-B  (2)在映射f之下,集合的并、交、差的象有什么特点?    f(A∪B)=f(A)∪f(B)    f(A∩B)f(A)∩f(B)当f为单射时,取等号    f(A-

2006-10-25 14:44:00
奖章
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