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原创 Q上多项式可约性深化定理

Q上多项式可约性深化定理令Z[x]是整数环Z上的多项式环，对于f(x)∈Z[x]f(x)\in Z[x]f(x)∈Z[x], 且f(x)在有理数域Q上可约，则一定存在非零次多项式g(x),h(x)∈Z[x]g(x),h(x)\in Z[x]g(x),h(x)∈Z[x],使得f(x)=g(x)∗h(x)f(x) = g(x) * h(x)f(x)=g(x)∗h(x)。证明引理1(高斯引理)本原多项式f(x)∈Z[x]f(x)\in Z[x]f(x)∈Z[x]，且f(x)的系数a0,...,ana_

2021-12-01 20:18:31 892

原创最大公约数存在性定理

最大公约数存在性定理描述任意n(n>=2)个整数a1,a2,…,an,都有最大公约数.如果d是最大公约数，则-d也是最大公约数;a1,a2,…,an的最大公约数至多相差一个符号.证明若a1,a2,…,an全为0，那么它们有且只有一个最大公约数0.若a1,a2,…,an不全为0构建集合S,S={∑1ntiai∣t1,t2,...,tn∈{1,2,...,n}}S = \{\sum_1^nt_ia_i|t_1,t_2,...,t_n\in \{1,2,...,n\}\}S={∑1nti

2021-12-01 20:17:52 617

原创准素分解定理

准素分解定理设σ是n维向量空间V上一个线性变换，p(x)是σ的最小多项式.令p(x)=(x−λ1)r1...(x−λk)rkp(x) = (x-λ_1)^{r_1} ... (x-λ_k)^{r_k}p(x)=(x−λ1)r1...(x−λk)rk是p(x)在复数域Q上的不可约因式分解，这里λ1,...,λkλ_1,...,λ_kλ1,...,λk是互不相同的复数，r1,...,rkr_1,...,r_kr1,...,rk是正整数.又设Vi=Ker((σ−λi)ri)={ξ∣ξ∈V,

2021-12-01 20:17:04 1327

原创正交分解简介

正交分解令W是欧式空间V的一个有限维子空间，则V=W⊕W⊥V = W \oplus W^{\bot}V=W⊕W⊥证明当W = {0}时, W⊥=VW^{\bot} = VW⊥=V, 显然V=W⊕W⊥V = W \oplus W^{\bot}V=W⊕W⊥.当W≠{0}W \neq \{0\}W={0}时, 令r1,r2,...,rsr_1,r_2,...,r_sr1,r2,...,rs是W的一组规范正交基，取ξ∈Vξ\in Vξ∈V,令η=⟨ξ,r1⟩r1+⟨ξ,r2⟩r2+...+

2021-12-01 20:15:47 2309

原创一元多项式因式分解的唯一性定理

一元多项式因式分解的唯一性定理令f(x)是数域F的一个大于零次的多项式，并且f(x)=∏i=1npi(x)=∏i=1mqi(x)f(x)= \prod_{i=1}^np_i(x)= \prod_{i=1}^mq_i(x)f(x)=i=1∏npi(x)=i=1∏mqi(x)其中pi(x),qi(x)p_i(x),q_i(x)pi(x),qi(x)都是数域F的不可约多项式。那么n = m, 并且将qi(x)q_i(x)qi(x)重排后，可以使得pi(x)=ciqi(x)(ci是零次多项

2021-12-01 20:14:59 1913

原创向量组替换定理

向量组替换定理设向量组（1） {α1,α2,...,αr}\{α_1,α_2,...,α_r\}{α1,α2,...,αr} 线性无关，并且可以由向量组（2） {β1,β2,...,βs}\{β_1,β_2,...,β_s\}{β1,β2,...,βs} 线性表示.那么r≤sr\leq sr≤s,并且通过将（2）中向量编号重排,然后用（1）替换前（2）的前r项，得到（3） {α1,α2,...,αr,βr+1,...,βs}\{α_1,α_2,...,α_r,β_r+1,...,

2021-12-01 20:14:22 1928

原创凸集简介

凸集设 D⊂RnD\subset R^nD⊂Rn ，若对任意的 X⃗1,X⃗2∈D\vec X_1,\vec X_2 \in DX1,X2∈D, α∈[0,1]α\in [0,1]α∈[0,1] 都有 αX1+(1−α)X1∈DαX_1+(1-α)X_1 \in DαX1+(1−α)X1∈D ，则称D为凸集。从几何直观上将，如果集合中的任意两点的连线仍在该集合中，则这个集合为凸集。设X⃗1,X⃗2,...,X⃗m∈D\vec X_1,\vec X_2,...,\vec X_m \in DX1

2021-12-01 20:13:53 3944

原创特征多项式的基无关性

特征多项式的基无关性设A=(aij)A=(a_{ij})A=(aij)是属于F上的n阶矩阵，特征多项式定义为行列式fA(λ)=det(λI−A)=∣λ−a11−a12...−a1n−a21λ−a22...−a2n...−an1−an2...λ−ann∣f_A(λ) = det(λI - A) = \left|\begin{array}{ccc}λ - a_{11}&-a_{12}&...&-a_{1n} \\-a_{21}&λ - a_{22}&...&

2021-12-01 20:12:44 1941

原创泰勒公式简介

泰勒公式带小o余项(佩亚余项)的泰勒公式描述设函数 f 在 U(a,η) 有定义，在a点有n阶导数，那么f(x)=o((x−a)n)+∑i=0nf(i)(a)i!(x−a)if(x) = o((x-a)^n) + \sum_{i=0}^n \frac{f^{(i)}(a)}{i!}(x-a)^if(x)=o((x−a)n)+i=0∑ni!f(i)(a)(x−a)i证明引理 1设函数 f 在 U(a,η) 有定义，在a点有n阶导数，且$ f^{(i)}(a) = 0, i = 0,…,n

2021-12-01 20:11:05 693

原创排列对换定理

排列对换定理每一次对换会导致排列的奇偶性变换证明(1)先证明特殊情况，相邻两个位置进行对换。...,i,j,......,i,j,......,i,j,...->...,j,i,......,j,i,......,j,i,...,此时其他逆序对都没有改变，只有i,j变为j,i，那么排列的逆序数要么+1要么-1，所以奇偶性变换。(2)再证明特殊情况，...,i,k1,k2,...,ks,j,......,i,k_1,k_2,...,k_s,j,......,i,k1,k2,...,ks

2021-11-30 14:20:43 1011

原创幂零变换的循环分解

幂零变换的循环分解设σ是n维向量空间V上一个幂零变换，那么V可以分解为σ-循环子空间的直和:V=W1⊕W2⊕...⊕WsV = W_1\oplus W_2\oplus ... \oplus W_sV=W1⊕W2⊕...⊕Ws令ri=dim(Wi)r_i = dim(W_i)ri=dim(Wi), 我们有r1≥r2≥...≥rsr_1\geq r_2\geq ...\geq r_sr1≥r2≥...≥rs.证明引理1设σ是向量空间V上一个幂零变换，而定义一个多项式h(x)=a0+

2021-11-30 14:16:52 1304

原创克拉默规则

克拉默规则一个含有n个未知量n个方程的线性方程组，当它的系数的行列式值D≠0D\neq 0D=0时，有且仅有唯一解，xj=DjDx_j = \frac{D_j}Dxj=DDj其中DjD_jDj是把D的第j列换成常数项。证明方程组为∑j=1naijxj=bi, (i=1,2,..,n)\sum_{j=1}^na_{ij}x_j = b_i, \ (i=1,2,..,n)j=1∑naijxj=bi, (i=1,2,..,n)取D按第k列分解的余子式Aik(i

2021-11-30 14:15:40 304

原创凯莱-哈密顿定理

凯莱-哈密顿定理设σ是n维向量空间V上一个线性变换，f(x)是σ的特征多项式.那么f(σ) = θ.证明引理1τ 是n维向量空间V上一个线性变换， ξ∈Vξ\in Vξ∈V，存在正整数s，使得τs(ξ)=0τ^s(ξ) = 0τs(ξ)=0，而τs−1(ξ)≠0τ^{s-1}(ξ) \neq 0τs−1(ξ)=0，那么ξ,τ(ξ),...,τs−1(ξ)ξ,τ(ξ),...,τ^{s-1}(ξ)ξ,τ(ξ),...,τs−1(ξ)线性无关。引理1证明反证法证明，假设ξ,τ(ξ),...,

2021-11-30 14:15:06 1324

原创矩阵范数不等式

矩阵范数不等式∣∣A∣∣2≤∣∣A∣∣1∣∣A∣∣∞||A||_2 \le ||A||_1||A||_{\infty}∣∣A∣∣2≤∣∣A∣∣1∣∣A∣∣∞证明引理1 严格对角占优的矩阵行列式为正n维实矩阵A, 满足aii>∑1≤j≤n,j≠i∣aij∣a_{ii}\gt \sum_{1\le j\le n, j\ne i}|a_{ij}|aii>1≤j≤n,j=i∑∣aij∣则称A为严格对角占优的矩阵，而∣A∣>0|A|>0∣A∣>0引理1的证

2021-11-30 14:14:40 5961

原创矩阵乘积的秩定理

矩阵乘积的秩定理两个矩阵乘积的秩不大于其每个因子的秩；特别的当其中一个因子可逆时，那么乘积的秩等于另一个因子的秩。证明假设 A是一个m x n的矩阵，B是一个n x s的矩阵， r是A的秩。若s<rs\lt rs<r,自然秩AB≤秩AAB \le 秩AAB≤秩A.所以主要讨论s≥rs\ge rs≥r, 通过对A进行初等变换可以得到E1E2...EpAEp+1...Eq=A‾=(Ir 00 0) E_1E_2...E_pAE_{p+1}...E

2021-11-30 14:14:02 22189 1

原创结式的根写法

结式的根写法f(x),g(x)是复数域C上的多项式. R(f,g)是它们的结式.f(x)=∑i=0maixm−i, (m>0)f(x) = \sum_{i=0}^m a_ix^{m-i},\ (m>0)f(x)=i=0∑maixm−i, (m>0)g(x)=∑i=0nbixn−i, (n>0)g(x) = \sum_{i=0}^n b_ix^{n-i},\ (n>0)g(x)=i=0∑nbixn−i, (n>0)当a

2021-11-30 14:13:32 238

原创伽马函数简介

伽马函数定义Γ(x)=∫0+∞tx−1e−tdtΓ(x)= \int_0^{+\infty} t^{x-1}e^{-t}dtΓ(x)=∫0+∞tx−1e−tdt性质与贝塔函数的关系B(x,y)=∫01tx−1(1−t)y−1dtB(x,y)= \int_0^1 t^{x-1}(1-t)^{y-1}dtB(x,y)=∫01tx−1(1−t)y−1dtB(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)B(x,y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)B(x,y)=Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)证明只

2021-11-30 14:02:44 4795

原创数值插值方法

数值插值方法基本目标是根据函数的离散数据构造一个简单易于计算的函数P(x)来代替原有的复杂函数。应用十分广泛，比如根据离散数据绘制光滑曲线、图形放大算法等等。拉格朗日插值定义域D上的f(x) 对于 n+1个点((x0,f(x0)),(x1,f(x1)),...,(xn,f(xn)))((x_0,f(x_0)),(x_1,f(x_1)),...,(x_n,f(x_n)))((x0,f(x0)),(x1,f(x1)),...,(xn,f(xn)))的拉格朗日插值Ln(x)=∑i=0nf(xi

2021-11-30 14:01:34 547

原创艾森斯坦判别法

艾森斯坦判别法设f(x)=∑i=0naixi, (ai∈Z)f(x) = \sum_{i=0}^n a_ix^i, \ (a_i\in Z)f(x)=i=0∑naixi, (ai∈Z)如果存在素数p满足下面所有条件，(1) p∤anp\nmid a_np∤an (2) p∣ai,i=0,...,n−1p\mid a_i, i = 0,...,n-1p∣ai,i=0,...,n−1 (2) p2∤a0p^2\nmid a_0p2∤a0 那么f(x)在Q上不可约.

2021-11-30 14:00:31 2312

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