哪里有家

原创 期末复习

期末复习　　学了一个学期的点集拓扑，大家对它应当有了更多的了解，更深刻的认识．大家掩卷回忆一下，点集拓扑学的主要内容有哪些？沿着什么思路研究？研究手法是什么？　　下面把这几个方面的内容理一下，仅供参考．　　一、点集拓扑学的主要内容：　　1．一般拓扑空间：　　（1）任何点集只要定义了拓扑，就成了拓扑空间．任何拓扑空间中均有开集、基、闭集、闭包．任何点集均可能有凝聚点，任何点均有邻

原创 §8.2　度量空间的完备性与紧致性

§8.2　度量空间的完备性与紧致性　　定义8.2.1　设(X,ρ)是一个度量空间,ε>0是一个实数．X的有限子集A称为一个ε网,如果对于任何x∈X有ρ(x,A)0,X有一个ε网,则称度量空间(X,ρ)是完全有界的．　　一个度量空间是完全有界明显蕴涵着它是有界的．反之不然,例如包含着无限多个点的离散度量空间是有界的但不是完全有界的　　定理8.2.1　设(X,ρ)是一个度量空间,则(X,ρ

原创 §7.6　局部紧致空间,仿紧致空间

§7.6　局部紧致空间,仿紧致空间　　本节重点:　　掌握局部紧致空间、仿紧致空间的定义．性质；　　掌握局部紧致空间、仿紧致空间中各分离性公理空间之间的关系；　　掌握局部紧致空间、仿紧致空间与紧致空间之间的关系．　　定义7.6.1　设X是一个拓扑空间,如果X中的每一个点都有一个紧致的邻域,则称拓扑空间X是一个局部紧致空间．　　由定义立即可见,每一个紧致空间都是局部紧致空间,因

原创 §8.1　度量空间的完备化

第8章　完备度量空间(简介)§8.1　度量空间的完备化　　定义8.1.1　设(X,ρ)是一个度量空间．X中的一个序列 ,如果对于任意给定的实数ε>0,存在整数N>0,使得当i,j>N时,有 ,则称序列是一个Cauchy序列．　　如果X中的每一个Cauchy序列都收敛,则称度量空间(X,ρ)是一个完备的度量空间　　易见度量空间中的每一个收敛序列都是Cauchy序列,但反之不然．　

原创 §7.5　度量空间中的紧致性

§7.5　度量空间中的紧致性　　本节重点:掌握度量空间中的紧致空间、可数紧致空间、序列紧致空间、列紧空间之间的关系．　　由于度量空间满足第一可数性公理，同时也是空间，所以上一节中的讨论（参见表7.2）因此我们，一个度量空间是可数紧致空间当且仅当它是列紧空间，也当且仅当它是序列紧致空间．但由于度量空间不一定就是Lindeloff空间，因此从定理7.4.2并不能断定列紧的度量空间是否一定就是紧

原创 §7.4　几种紧致性以及其间的关系

§7.4　几种紧致性以及其间的关系　　本节重点:掌握新定义的几种紧致性的定义及它们之间的关系．　　读者已从数学分析的学习中知道了以下命题：实数空间中的一个子集A如果满足以下条件（l）～（4）中的任何一条，则满足其他的几条．　　（l）A是一个有界闭集；　　（2）A的每一个开覆盖都有有限子覆盖；　　（3）A中的每一个无限子集都有凝聚点在A中；　　（4）A中的每一个序列都有收敛的

原创 §7.3　n维欧氏空间中的紧致子集

§7.3　n维欧氏空间中的紧致子集　　定义7.3.1　设（X，ρ）是一个度量空间，AX．如果存在实数M＞0使得ρ（x，y）＜M对于所有x，y∈A成立，则称A是X的一个有界子集；如果X本身是一个有界子集，则称度量空间（X，ρ）是一个有界度量空间．　　定理7.3.1　紧致度量空间是有界的．　　证明　设（X，ρ）是一个紧致度量空间．由球形邻域构成的集族{B（x，1）|x∈X}是X的一个开覆盖

原创 §7.2　紧致性与分离性公理

§7.2　紧致性与分离性公理　　本节重点:　　掌握紧致空间中各分离性公理的关系；　　掌握Hausdorff空间中紧致子集的性质.　　在本节中我们把第六章中研究的诸分离性公理和紧致性放在一起进行考察、我们将会发现在紧致空间中分离性公理变得十分简单了．此外在本节的后半部分，我们给出从紧致空间到Hausdorff空间的连续映射的一个十分重要的性质．　　定理7.2.1　设X是一个Hau

原创 §6.6　可度量化空间

§6.6　可度量化空间　　本节重点:掌握三个定理的结论(前两个定理的证明不要求)　　先回忆一下在第二章中的可度量化空间的定义．一个拓扑空间称为是可度量化的，如果它的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来．我们已经在许多章节中研究过度量空间的一些拓扑性质，这些拓扑性质当然也是可度量化空间所具有的．在这一章中我们部分地回答具有什么样的拓扑性质的拓扑空间是可度量化空间这个问题．　　定理6.6.1[

原创 §7.1　紧致空间

第7章　紧致性§7.1　紧致空间　　本节重点：　　掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．（这些方法哪些是充要条件）；　　掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的．　　在§5.3中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即Lindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定

原创 §6.5　分离性公理与子空间，（有限）积空间和商空间

§6.5　分离性公理与子空间，（有限）积空间和商空间　　本节重点:　　掌握各分离性公理是否是连续映射所能保持的性质,是否是可遗传的,可积的.　　本书正文中提到的所有的分离性公理有（即Hausdorff），（即Tychonoff），以及正则和正规等，它们都是经由开集或者经由通过开集定义的概念来陈述的，所以它们必然都会是拓扑不变性质．但是我们还是愿意完全形式地作一番验证，但只是以一种情形为

原创 §6.4　完全正则空间，Tychonoff空间

§6.4　完全正则空间，Tychonoff空间　　本节重点:　　掌握完全正则空间与空间的定义；　　掌握正则,正规及完全正则空间之间的关系.　　定义6.4.1　设X是一个拓扑空间．如果对于任意x∈X和X中任何一个不含点x的闭集B,存在一个连续映射f:X→[0,1]使得f(x)＝0以及对于任何y∈B有f(y)=1,则称拓扑空间X是一个完全正则空间．　　完全正则的空间称为Tychon

原创 §6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理

§6.3 Urysohn引理和Tietze扩张定理　　本节重点:　　掌握Urysohn引理的内容(证明不要求)；　　掌握定理6.3.2的证明方法．　　定理6.3.1　[Urysohn引理]设X是一个拓扑空间，[a，b]是一个闭区间．则X是一个正规空间当且仅当对于X中任意两个无交的闭集A和B，存在一个连续映射f:X→[a，b]使得当x∈A时f(x)=a和当x∈B时f(x)=b．　

原创 §6.1　,Hausdorff空间

第6章　分离性公理§6.1　,Hausdorff空间　　本节重点:　　掌握空间的定义及它们之间的不同与联系；　　掌握各空间的充要条件；　　熟记常见的各种空间.　　现在我们回到我们在第二章中提出来的什么样的拓扑空间的拓扑可以由它的某一个度量诱导出来这一问题．为了回答这个问题势必要求我们对度量空间的拓扑性质有充分的了解．读者将会发现，本章中所提到的诸分离性公理，实际上是模仿度量

原创 §6.2　正则，正规，空间

§6.2　正则，正规，空间　　本节重点：　　掌握各空间的定义、充要条件及之间的联系．　　我们先将点的邻域的定义推广到对于集合有效．　　定义6.2.1　设X是一个拓扑空间，A，UX．如果A包含于U的内部，即A，则称集合U是集合A的一个邻域．如果U是A的一个邻域，并且还是一个开集（闭集），则称U是A的一个开（闭）邻域．　　定义6.2.2　设X是一个拓扑空间．如果X中的任何一个点和任

原创 §5.3　Lindeloff空间

§5.3　Lindeloff空间　　本节重点:　　掌握Lindeloff空间的定义；　　掌握Lindeloff空间与第一(二)可数性公理空间、可分空间的关系；　　掌握Lindeloff空间的遗传性、关于连续映射的是否可保持性．　　我们先引进一些术语．　　定义5.3.1　设A*是一个集族，B是一个集合．如果则称集族A*是集合B的一个覆盖，并且当A*是可数族或有限族时，分别称集

原创 §5.2　可分空间

§5.2　可分空间　　本节重点:　　掌握可分空间的定义及可分空间与第二可数性公理空间的关系,与度量空间的关系；　　掌握稠密子集的定义及性质.　　定义5.2.l　设X是一个拓扑空间，DX．如果D的闭包等于整个拓扑空间X，即=X，则称D是X的一个稠密子集.　　以下定理从一个侧面说明了讨论拓扑空间中的稠密子集的意义．　　定理5.2.1　设X是一个拓扑空间，D是X中的一个稠密子集．

原创 §5.1　第一与第二可数性公理

第5章　有关可数性的公理§5.1　第一与第二可数性公理　　本节重点：　　掌握满足第一与第二可数性公理的空间的定义及相互间的关系；　　掌握满足第一与第二可数性公理的空间有关连续映射的不变性、有限可积性、可遗传性等问题；　　掌握满足第一可数性公理的空间中在一点邻近的性质及序列的性质；　　掌握常见的空间哪些空间是第一可数性公理空间,哪些是第二可数性公理空间．　　从§2.6节的

原创 §2.6　基与子基

§2.6　基与子基　　本节重点：　　掌握基与子基的概念，点的邻域与基之间的关系；　　掌握基、子基与开集的关系；　　掌握如何用基表示开集．　　在讨论度量空间的拓扑的时候，球形邻域起着基本性的重要作用．一方面，每一个球形邻域都是开集，从而任意多个球形邻域的并也是开集；另一方面，假设U是度量空间X中的一个开集．则对于每一个x∈U有一个球形邻域B（x，ε）U，因此．这就是说，一个集合是

原创 半期复习

半期复习　　主要复习两个内容：拓扑学研究的思路与成果；常见证明方法．　　一、研究的思路与成果　　1．预备知识　　（1）集合的三种运算的定义与证明方法：　　　　并、交、差：A∪B、A∩B、A-B　　（2）在映射f之下，集合的并、交、差的象有什么特点？　　　　f（A∪B）=f（A）∪f（B）　　　　f（A∩B）f（A）∩f（B） 当f为单射时，取等号　　　　f（A-

原创 4.5　道路连通空间

§4.5　道路连通空间　　较之于连通空间的概念，道路连通空间这个概念似觉更符合我们的直觉因而易于理解些．我们先定义“道路”．　　定义4.5.1　设X是一个拓扑空间．从单位闭区间[0，1]→X的每一个连续映射f:[0，1]→X叫做X中的一条道路，并且此时f(0)和f(1)分别称为道路f的起点和终点．当x＝f（0）和y＝f（1）时，称f是X中从x到y的一条道路．起点和终点相同的道路称为闭路，并

原创 4.4　局部连通空间

§4.4　局部连通空间　　本节重点:　　掌握局部连通的定义与性质(定理4.4.1-4.4.3)；　　掌握连通与局部连通的关系.　　引进新的概念之前，我们先来考察一个例子．　　例4.4.1　在欧氏平面中令S={(x,sin(1/x))|x∈(0,1]}．T={0}×[-1,1],其中S被称作拓扑学家的正弦曲线，它是区间（0，1]在一个连续映射下的象，因此是连通的．此外，也容易验证

原创 4.3　连通分支

§4.3　连通分支　　本节重点:　　掌握连通分支的定义(即连通”类”的分法)；　　掌握连通分支的性质(定理4.3.1)．　　从前面两节中的内容可以看出，知道一个拓扑空间是否连通给我们处理一些问题带来很大的方便．这导致我们去考察一个我们并不知道是否连通的拓扑空间中的“最大”连通子集（即连通分支）．　　定义4.3.1　设X是一个拓扑空间，x，y∈X．如果X中有一个连通子集同时包含x

原创 4.2　连通性的某些简单应用

§4.2　连通性的某些简单应用　　本节重点:掌握实数空间R中的连通子集的“形状”　　掌握实数空间R的子集中常见的连通子集与不连通子集.　　掌握常见的几种空间的同胚与否的事实.　　让我们回忆实数集合R中区间的精确定义：R的子集E称为一个区间，如果它至少包含两个点，并且如果a，b∈E，a＜b，则有　　 [a，b]={x∈R|a≤x≤b}E　　读者熟知，实数集合R中的区间共有以下

原创 4.1　连通空间

第4章　连通性　　本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间．　　§4.1　连通空间　　本节重点:　　掌握连通与不连通的定义；　　掌握如何证明一个集合的连通与否；　　掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性．　　我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R中的

原创 3.3　商空间

§3.3　商空间　　本节重点:掌握商空间、商拓扑、商映射的定义．　　将一条橡皮筋的两个端点“粘合”起来，我们便得到了一个像皮圈；将一块正方形的橡皮块一对对边上的点按同样的方向两两‘粘合”起来，我们便得到了一个橡皮管，再将这个橡皮管两端的两个圆圈上的点按同样的方向两两“粘合”起来，我们又得到了一个橡皮轮胎……这种从一个给定的图形构造出一个新图形的办法可以一般化．　　我们在第一章中讨论过等

原创 3.2　（有限）积空间

§3.2　（有限）积空间　　本节重点:　　掌握乘积空间的度量与拓扑的定义．　　掌握积拓扑的基与子基的结构．　　掌握投射的定义与性质．　　掌握定理3.2.7与定理3.2.9的作用．　　给定了两个拓扑空间，我们首先可以得到一个集合作为它们的笛卡儿积．如何按某种自然的方式给定这个笛卡儿积一个拓扑使之成为拓扑空间？　　为此我们先对度量空间中的同类问题进行研究．首先回顾n维欧氏空

原创 3.1　子空间

第3章　子空间（有限）,积空间，商空间　　在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作．§3.1　子空间　　本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关

原创 2.7 拓扑空间中的序列

§2.7 拓扑空间中的序列　　本节重点:　　掌握拓扑空间中序列的概念,及极限点的概念；　　掌握数学分析中的序列的性质与拓扑空间中的序列的性质有何不同；　　掌握不可数集中序列的特性；　　掌握点集的凝聚点与序列的极限点的关系．　　在读者熟知的数学分析课程中，往往用序列收敛的概念作为出发点来刻画集合的凝聚点，函数在某一点处的连续性等等．在这一节我们便会看到这种做法在一般的拓扑空间

原创 2.4　导集，闭集，闭包

§2.4　导集，闭集，闭包　　本节重点：　　熟练掌握凝聚点、导集、闭集、闭包的概念；　　区别一个点属于导集或闭包的概念上的不同；　　掌握一个点属于导集或闭集或闭包的充要条件；　　掌握用“闭集”叙述的连续映射的充要条件．　　如果在一个拓扑空间中给定了一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各自不同，因此可以对它们进行分类处理．　　定义2.4.1　设X是

原创 2.3　邻域与邻域系

§2.3　邻域与邻域系　　本节重点：　　掌握邻域的概念及邻域的性质；　　掌握连续映射的两种定义；　　掌握证明开集与邻域的证明方法（今后证明开集常用定理2.3.1）．　　我们在数学分析中定义映射的连续性是从“局部”到“整体”的，也就是说先定义映射在某一点处的连续性，然后再定义这个映射本身的连续性．然而对于拓扑空间的映射而言，先定义映射本身的连续性更为方便，所以我们先在§2.2中做

原创 2.2　拓扑空间与连续映射

§2.2　拓扑空间与连续映射　　本节重点:拓扑与拓扑空间的概念,并在此空间上建立起来的连续映射的概念.　　注意区别:拓扑空间的开集与度量空间开集的异同；连续映射概念的异同.　　现在我们遵循前一节末尾提到的思路，即从开集及其基本性质（定理2.1.2）出发来建立拓扑空间的概念．　　定义2.2.1　设X是一个集合，T是X的一个子集族．如果T满足如下条件：　　（l）X，∈T ；　　

原创 2.1　度量空间与连续映射

第2章　度量空间与连续映射　　从数学分析中读者已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．随后再逐步提出拓扑

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