8 马同学高等数学

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如何通俗地理解信息增益?

通俗来说,一句话、一段视频、一本书统统都可以称为信息。有的信息很干,我们就说它的“信息增益”大,而有的很水,那么就是“信息增益”小。1 选择朋友举个例子吧,比如因为工作原因,我新结识了一位小伙伴,现在想判断他是否值得交往,也就是想做一个“选择朋友”的决策。我择友的标准是“好人”,但是好坏不会写在人的脑门上,只能通过了解更多的信息来判断。信息知道的越多自然判断越准确。当然,有的信息“信息增益”低,对“选择朋友”这个决策帮助小。比如抽烟、喝酒这个信息对“选择朋友”帮助就不大,好人、坏人都抽烟喝酒

2020-05-22 15:21:51

宗教争斗中的无穷小

牛顿大神在数学、物理演算中,经常会用到“流数”(fluxions),也就是现在称之为的无穷小。比如,下面是牛顿计算导数的过程,其中的和都是“流数”:乔治·贝克莱(George Berkeley,1685-1753),也称为贝克莱主教,对这种做法进行了激烈的批评,说“流数”在运算中突然消失(指上面“忽略”这一步),就好像一个鬼魂:这确实是蛮严重的、又切中要害...

2020-04-23 10:33:06

为什么算出来的圆周率 π 等于 4 ?

按照下图的算法,似乎可以算出圆周率等于4:这个结论肯定是错误的,这篇文章就来仔细解释下。1 周长和面积确实,随着不断弯折,圆外多边形看上去越来越接近圆:那为什么文章开头的结论是错误的呢?我们需要明白,在这个弯折过程中,圆外多边形的周长和面积发生了不同的改变: 圆外多边形的周长始终保持不变,并没有逼近圆的周长 圆外多边形的面积不断逼近圆的面积,所以看上去圆...

2020-03-06 09:40:54

怎样从《几何原本》到《独立宣言》?

《几何原本》是人类文明的一个转折点,而《独立宣言》是人类文明的一个里程碑,这两者背后有着相同的思维方式。本文就来解释下这种思维方式是什么,以及这种思维方式是怎么从《几何原本》到《独立宣言》。1 《几何原本》大名鼎鼎的欧几里得写了《几何原本》,这句话反过来说可能更合适,因为写了《几何原本》后,欧几里得才得享大名:其中的内容现在看来平平无奇,大概就是从小学到高中学习的各种几何知识,比如...

2020-02-11 21:54:39

为什么学习线性代数?

“为什么学习线性代数?线性代数到底在讲什么?”刚接触这门学科的同学可能都会提类似的问题。简短的回答就是:(1)我们所处的世界、宇宙太复杂了,很多现象都无法理解,更谈不上用数学去描述;(2)有一些符合特定条件的复杂问题,可以转化为简单的线性问题,线性问题就完全可以理解、完全可以被数学所描述(怎么把复杂问题转为线性问题是别的学科要解决的,比如说微积分);...

2019-12-19 12:03:07

不同直径的圆转一圈后,滚过的距离相同?谈一下亚里士多德车轮悖论与无穷小

1 亚里士多德的车轮悖论如下的木头轮子,可以将它抽象为两个同心圆,大的表示车轮,小的表示车轴:假设大圆的半径为,小圆的半径为。那么车轮在水平线上(无滑动地)滚动一圈的话,两个圆的底部都会平移相同的距离,即大圆的周长:想象大圆、小圆上分别涂上了不同颜色的油漆,车轮滚动一圈后,大圆、小圆所接触的水平线都会被涂满油漆,并且这两段水平线的长度都为:也就是说,半径不...

2019-12-12 12:50:32

如何通俗地理解熵?

熵,是一个热力学的概念。但在历史的发展中,造就了它非常丰富的内涵,进入了很多学科的视野。本文会在数理层面对它进行一个解读,厘清它在逻辑上到底是什么。1 混乱的熵很多科普文章中,都提到熵是用来度量混乱的。比如下面这幅动图,单词“Entropy”(熵的英文)可见的时候,熵最小,这个时候最有秩序;而被打乱的时候,熵开始增大,直到最后一片混乱,熵变成最大:熵之所以很重要,是因为它总结了宇宙...

2019-10-08 16:07:42

如何理解几何分布与指数分布的无记忆性?

在经济学上,有一个概念是沉没成本,大概指的是已经付出的、且不可收回的成本。针对这个概念有一个常见的说法:这句话的意思是,既然沉没成本不可收回,那么在做选择的时候就不应该考虑它。举一个简单的例子,买票去看电影,放映10分钟你就知道这是一部烂片,那么有两个选项(图片出自沉没成本谬误):此时这张电影票已经消费了,没有办法收回,购买电影票的钱就是沉没成本。这个时候如果想离开电影院就直接离开...

2019-09-29 11:29:09

如何理解多变量函数的极限?

多变量函数的极限是单变量函数极限的扩展,让我们从数列极限的直观开始学习。1 数列极限的直观在古希腊的时候,人们就知道可以用等边多边形的面积来逼近圆形的面积:假设用 ana_nan​ 来表示内接等边 nnn 边形的面积,那么可以用一个数列来描述这个逼近过程:这个数列的极限就是圆形的面积:圆的面积=lim⁡n→∞an圆的面积=\lim_{n\to\infty}a_n圆的面积=n→∞lim...

2019-08-13 16:21:16

概率论发展的转折点:贝特朗悖论

和所有的数学分支类似,概率论的也是经历了从直觉到严格的过程。其中的一个转折点就是贝特朗悖论。1 古典派古典派也就是高中时候学的概率论。它的核心哲学思想是:不充分理由原则。1.1 不充分理由原则雅各布·伯努利(1654-1705):提出,如果因为无知,使得我们没有办法判断哪一个结果会比另外一个结果更容易出现,那么应该给予它们相同的概率。比如: 硬币:由于不清楚硬币哪一面...

2019-07-31 15:59:51

如何通俗地理解协方差和相关系数?

1 正相关与负相关1.1 相关性事物之间可能会有关系,这可以通过数据看出。比如要买房的人越多(下图的城镇化率可以简单理解为进城买房的人数),房价就越高,两者的关系称为正相关 :城镇化有另外一个反作用,降低出生率。城镇化和出生率之间的关系就是负相关 ,也就是说城镇化率越高、出生率会越低,所以说,“城镇化是最好的避孕药”:1.2 股票组合在现实生活中了解相关性是很有用处...

2019-06-25 10:13:03

如何通俗地理解曲率?

1 地球是圆的历史上很长的时间,人们都觉得地球是平的:不过如果在海边,还是容易发现地球其实不是平的。比如极目远眺,发现很远的建筑在海平面以下:加上麦哲伦环球航行、月全食、太空旅行等各种事实的呈现,人们最终可以确定地球是圆的的了(下图是从月球上看地球)。之所以这么难发现地球是圆的,主要是因为地球的半径太大了。2 球的曲率下面有三个球体,网球、篮球、地球,半径越小的...

2019-06-12 15:06:49

无法理解线性代数怎么办?

无法理解线性代数的原因有很多,本文主要来讲讲各大高校使用的主流教材同济大学版的《线性代数》的问题。之前写过一篇无法理解高等数学怎么办的文章,对同济大学版的《高等数学》教材进行过一些评论,认为这本教授微积分的主流教材的问题在于坡度太陡了,但逻辑主线是没有问题的,所以我们在创作《马同学单变量微积分》内容时基本上还能和此书的目录结构保持一致。但同济大学版的《线性代数》问题就很大了,随便摘选下...

2019-05-20 16:15:13

如何理解指数分布?

1泊松分布指数分布和泊松分布息息相关,所以先简单回忆下之前介绍过的泊松分布。公司楼下有家馒头店,每天早上六点到十点营业:老板统计了一周每日卖出的馒头(为了方便计算和讲解,缩小了数据),想从中找到一些规律:从中可以得到最简单的规律,均值:这个规律显然不够好,如果把营业时间抽象为一根线段,把这段时间用来表示:然后把卖出的馒头数画在这根线段上(节约篇幅,只画出周一...

2019-05-06 10:34:30

追寻宇宙的形状--庞加莱猜想

克雷数学研究所在2000年5月24日公布了七大数学难题,被称为千禧数学问题,并且给出悬赏,这些问题每解决一个都可以获得一百万美金的奖金。所有问题都悬而未决,除了庞加莱猜想,本文就来介绍下庞加莱猜想讲的是什么。1地球真的是圆的吗?历史上很长的时间,人们都觉得地球是平的:中世纪的欧洲人普遍相信欧洲最西南端的葡萄牙的罗卡角就是大陆的尽头,此处有一块石碑上面刻着诗人卡蒙斯(Camões)...

2019-04-15 11:06:58

令人讨厌的是数学课,不是数学----《一个数学家的叹息》

机缘巧合,看到了一本书,深受触动。书中所说的理念正是马同学一直想去、要去、希望能够做到的,借用书中的话:数学是理性的音乐。做数学是从事发现与猜测、直觉与灵感的活动;是进入疑惑的状态——不是因为它让你搞不懂,而是因为你给了它意义,而你还不知道你的创造会走向何处;是产生一个突破性的想法;是像艺术家一般遭遇挫折;是被几近痛苦的美丽所折服与赞叹;是感觉活着。把这些从数学里拿掉,无论你开多少(数学...

2019-04-12 17:12:12

如何通俗理解泊松分布?

1 甜在心馒头店公司楼下有家馒头店:每天早上六点到十点营业,生意挺好,就是发愁一个事情,应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应?老板统计了一周每日卖出的馒头(为了方便计算和讲解,缩小了数据):均值为:按道理讲均值是不错的选择(参见如何理解最小二乘法?),但是如果每天准备5个馒头的话,从统计表来看,至少有两天不够卖,的时间不够卖:你“甜在心馒头店”又不是...

2019-04-12 14:48:40

黎曼猜想到底是什么意思?

2018年,89岁高龄的菲尔兹奖得主,迈克尔·阿蒂亚爵士举行了他最后一次公开的数学报告:这个报告是关于“黎曼猜想”的证明,报告结束后仅仅三个月,老爷子就溘然长逝。这次报告到底是不是证明了“黎曼猜想”,我没有资格评论,这需要数学界内部进行审查。哪怕就算结果错的,也有可能指出新的突破方向,这在数学史上也层出不穷。留待学界、时间来检验吧。但是,黎曼猜想:函数的所有非平凡零点的实部都...

2019-04-02 10:04:58

什么是概率?

1 争论概率论需要回答的第一个问题就是,什么是概率?刚接触这门学科的同学可能觉得难以置信,这个问题仍然存在着广泛的争论:而且这个问题更像是一个哲学问题,而不是数学问题,确实也有不少哲学家参与讨论。对于概率的定义有几个主流的派别: 频率派 古典派 主观派 了解这些派别对于理解概率论很有帮助,下面来简单介绍一下。2 频率派首先来了解下频率派,频...

2019-03-12 10:54:48

概率论的起源

继《线性代数》和《单变量微积分》后,“马同学图解”系列又迎来新的成员 ---- 《概率论与数理统计》,覆盖浙江大学《概率与数理统计》前八章(考研范围),下面是本课程的第一篇文章,欢迎大家试读和购买(微信公众号:马同学高等数学,菜单“图解”中购买)。1 随机现象在生活中有些现象是注定的,比如往空中扔一个石头必然会落回地面,这叫作确定性现象 。也有不确定的现象,大家都见过骰子吧,下面是常...

2019-03-05 11:53:18

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