8 马同学高等数学

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向量空间

这节课介绍向量空间这个概念。借助向量空间,可以表示我们关心的直线、平面、立方体等线性的几何对象:1 宇宙空间如果将宇宙空间看作无限大的立方体的话,那么向量空间甚至可以表示整个宇宙(至少可以表示宇宙线性的部分):向量空间和宇宙空间两者都有“空间”二字,确实有共通之处。先看看宇宙空间有什么特点: 包含各种物质,比如星体、生物、能量等等 物质进行的各种运动(比如恒星燃烧、生物行走等等),结果依然在空间内,比如恒星燃烧化为能量,依然在宇宙中 和宇宙空间进行类比,向量空间...

2020-10-13 15:00:05

线性组合与线性相关

切入本课的主题之前,先科普一下人眼是怎么感知颜色的。人眼的构成是这样的:别的医学名词咱们不关心,就说右边的感光细胞。可以看出人眼大致有三种感光细胞:红色、绿色、蓝色的感光细胞。如果通过特定的光线,单独“激活”这三种感光细胞,我们分别看到红色、绿色、蓝色,这些光线也就是红光、绿光、蓝光:1 调色板下面开始引入本课的主题:线性表示。这个概念其实我们并不陌生,就是小学美术老师教过的调色:1.1 等比混合这三种颜色的光线同时作用在这三种感光细胞上,混合在一起,就得到了我们所看到的颜色

2020-09-25 11:18:42

向量的加减和乘除

物理中,力的合成其实就是向量的加法。比如,下面是两条小船在牵引一艘大船,合力可以通过平行四边形法则(右上)或者三角形法则(右下)计算得到:三角形法则在计算多个向量相加的时候非常方便,所以下面着重介绍三角形法则。1.1 三角形法则下面用动画来演示下通过三角形法则如何让两个向量相加:、、三者最后形成了一个三角形,所以称为三角形法则。三角形法则逐帧讲解的话就是:、首尾相接连接和并且这种首尾相连的操作,可以拓展到多个向量相加,,比如:1.2 代数定义更一.

2020-09-25 11:05:09

向量

向量,这是一个古老的概念。亚里士多德就知道力可以分解为向量,伽利略更是清晰的阐述了向量如何合成。下面来看看在物理中是如何定义向量的。1 物理中的向量1.1 有向线段高中物理就学过,是有长度、有方向的有向线段,可以用来表示力、速度或加速度等有大小、有方向的物理量。比如下面篮球的瞬时速度可以用向量来表示:将向量的起点与终点分别标上字母、,则向量可以记作,头上的箭头方向表示由指向:1.2 相等的向量物理中规定,只要长度相同、方向一致就是相等的向量。比如下面表示小车速度的向量,虽然起

2020-09-18 17:09:35

为什么学习线性代数

“为什么学习线性代数?线性代数到底在讲什么?”刚接触这门学科的同学可能都会提类似的问题。简短的回答就是:(1)我们所处的世界、宇宙太复杂了,很多现象都无法理解,更谈不上用数学去描述;(2)有一些符合特定条件的复杂问题,可以转化为简单的线性问题,线性问题就完全可以理解、完全可以被数学所描述(怎么把复杂问题转为线性问题是别的学科要解决的,比如说微积分);(3)线性代数就是研究怎么解决线性问题的。简短的回答结束,下面会在该回答基础展开,给出更详细...

2020-09-18 16:47:42

什么是机器学习?

这篇文章是我们机器学习《监督式学习》课程的一篇试读,感兴趣的同学可以查看我们的微信公众号:马同学高等数学,进一步了解课程。机器学习算是人工智能的一个分支,所以让我们从人工智能说起。1 人工智能精确定义人工智能很难,大概就是机器获得了类似人类的智慧,甚至成为了超人:很长的一段时间人工智能只是一个幻想,直到20世纪40年代电脑的出现,才有一批科学家开始严肃地探讨实现的可能性。经过快一个世纪的努力,逐渐取得了一些成果,比如自动驾驶:比如两足机器人:当然,这些离人

2020-09-16 10:12:22

为什么学习线性代数_test

“为什么学习线性代数?线性代数到底在讲什么?”刚接触这门学科的同学可能都会提类似的问题。简短的回答就是:(1)我们所处的世界、宇宙太复杂了,很多现象都无法理解,更谈不上用数学去描述;(2)有一些符合特定条件的复杂问题,可以转化为简单的线性问题,线性问题就完全可以理解、完全可以被数学所描述(怎么把复杂问题转为线性问题是别的学科要解决的,比如说微积分);(3)线性代数就是研究怎么解决线性问题的。简短的回答结束,下面会在该回答基础展开,给出更详细...

2020-09-10 14:47:38

明天太阳一定会升起吗?兼谈拉普拉斯平滑

皮埃尔-西蒙,拉普拉斯侯爵(1749-1827),法国著名的天文学家和数学家:曾经提出一个问题:千百万年以来,每天太阳都会升起。但是,可以就此推断明天太阳一定会升起吗?1 火鸡问题这个问题似乎有点古怪,但仔细想想,如果不具备其它的关于太阳的知识,仅凭数据确实没有办法肯定地说,明天太阳一定会升起。英国哲学家波特兰.罗素曾经描述过一个类似的问题:一个农场里有一群火鸡,农场主每天中午十一点来给它们喂食。火鸡中的一名科学家观察这个现象,一直观察了近一年都没有例外,于是它在感恩节当天向所有火鸡

2020-06-29 10:38:39

如何直观地理解矩阵的秩?

矩阵的秩可以直观地理解为筛眼的大小:下面就来解释这句话是什么意思?1 矩阵的作用假设对于向量 x1 、 x2、 x3、x4 有:上述关系可以用图像来表示,左侧的向量 x1 、 x2、 x3、x4,在 A 的作用下,变为了右侧的向量 y1 、y2 、y3 、y4 :将各个向量依次连起来就得到了两个矩形。那么可以这么理解,左侧的矩形在 A 的作用下,变为了右侧的矩形:2 矩阵的秩如果 A 的秩不一样,那么左侧的矩形在 A 的作用下,右侧就可能得到不同的图形:有

2020-06-06 20:22:22

如何通俗地理解信息增益?

通俗来说,一句话、一段视频、一本书统统都可以称为信息。有的信息很干,我们就说它的“信息增益”大,而有的很水,那么就是“信息增益”小。1 选择朋友举个例子吧,比如因为工作原因,我新结识了一位小伙伴,现在想判断他是否值得交往,也就是想做一个“选择朋友”的决策。我择友的标准是“好人”,但是好坏不会写在人的脑门上,只能通过了解更多的信息来判断。信息知道的越多自然判断越准确。当然,有的信息“信息增益”低,对“选择朋友”这个决策帮助小。比如抽烟、喝酒这个信息对“选择朋友”帮助就不大,好人、坏人都抽烟喝酒

2020-05-22 15:21:51

宗教争斗中的无穷小

牛顿大神在数学、物理演算中,经常会用到“流数”(fluxions),也就是现在称之为的无穷小。比如,下面是牛顿计算导数的过程,其中的和都是“流数”:乔治·贝克莱(George Berkeley,1685-1753),也称为贝克莱主教,对这种做法进行了激烈的批评,说“流数”在运算中突然消失(指上面“忽略”这一步),就好像一个鬼魂:这确实是蛮严重的、又切中要害...

2020-04-23 10:33:06

为什么算出来的圆周率 π 等于 4 ?

按照下图的算法,似乎可以算出圆周率等于4:这个结论肯定是错误的,这篇文章就来仔细解释下。1 周长和面积确实,随着不断弯折,圆外多边形看上去越来越接近圆:那为什么文章开头的结论是错误的呢?我们需要明白,在这个弯折过程中,圆外多边形的周长和面积发生了不同的改变: 圆外多边形的周长始终保持不变,并没有逼近圆的周长 圆外多边形的面积不断逼近圆的面积,所以看上去圆...

2020-03-06 09:40:54

怎样从《几何原本》到《独立宣言》?

《几何原本》是人类文明的一个转折点,而《独立宣言》是人类文明的一个里程碑,这两者背后有着相同的思维方式。本文就来解释下这种思维方式是什么,以及这种思维方式是怎么从《几何原本》到《独立宣言》。1 《几何原本》大名鼎鼎的欧几里得写了《几何原本》,这句话反过来说可能更合适,因为写了《几何原本》后,欧几里得才得享大名:其中的内容现在看来平平无奇,大概就是从小学到高中学习的各种几何知识,比如...

2020-02-11 21:54:39

为什么学习线性代数?

“为什么学习线性代数?线性代数到底在讲什么?”刚接触这门学科的同学可能都会提类似的问题。简短的回答就是:(1)我们所处的世界、宇宙太复杂了,很多现象都无法理解,更谈不上用数学去描述;(2)有一些符合特定条件的复杂问题,可以转化为简单的线性问题,线性问题就完全可以理解、完全可以被数学所描述(怎么把复杂问题转为线性问题是别的学科要解决的,比如说微积分);...

2019-12-19 12:03:07

不同直径的圆转一圈后,滚过的距离相同?谈一下亚里士多德车轮悖论与无穷小

1 亚里士多德的车轮悖论如下的木头轮子,可以将它抽象为两个同心圆,大的表示车轮,小的表示车轴:假设大圆的半径为,小圆的半径为。那么车轮在水平线上(无滑动地)滚动一圈的话,两个圆的底部都会平移相同的距离,即大圆的周长:想象大圆、小圆上分别涂上了不同颜色的油漆,车轮滚动一圈后,大圆、小圆所接触的水平线都会被涂满油漆,并且这两段水平线的长度都为:也就是说,半径不...

2019-12-12 12:50:32

如何通俗地理解熵?

熵,是一个热力学的概念。但在历史的发展中,造就了它非常丰富的内涵,进入了很多学科的视野。本文会在数理层面对它进行一个解读,厘清它在逻辑上到底是什么。1 混乱的熵很多科普文章中,都提到熵是用来度量混乱的。比如下面这幅动图,单词“Entropy”(熵的英文)可见的时候,熵最小,这个时候最有秩序;而被打乱的时候,熵开始增大,直到最后一片混乱,熵变成最大:熵之所以很重要,是因为它总结了宇宙...

2019-10-08 16:07:42

如何理解几何分布与指数分布的无记忆性?

在经济学上,有一个概念是沉没成本,大概指的是已经付出的、且不可收回的成本。针对这个概念有一个常见的说法:这句话的意思是,既然沉没成本不可收回,那么在做选择的时候就不应该考虑它。举一个简单的例子,买票去看电影,放映10分钟你就知道这是一部烂片,那么有两个选项(图片出自沉没成本谬误):此时这张电影票已经消费了,没有办法收回,购买电影票的钱就是沉没成本。这个时候如果想离开电影院就直接离开...

2019-09-29 11:29:09

如何理解多变量函数的极限?

多变量函数的极限是单变量函数极限的扩展,让我们从数列极限的直观开始学习。1 数列极限的直观在古希腊的时候,人们就知道可以用等边多边形的面积来逼近圆形的面积:假设用 ana_nan​ 来表示内接等边 nnn 边形的面积,那么可以用一个数列来描述这个逼近过程:这个数列的极限就是圆形的面积:圆的面积=lim⁡n→∞an圆的面积=\lim_{n\to\infty}a_n圆的面积=n→∞lim...

2019-08-13 16:21:16

概率论发展的转折点:贝特朗悖论

和所有的数学分支类似,概率论的也是经历了从直觉到严格的过程。其中的一个转折点就是贝特朗悖论。1 古典派古典派也就是高中时候学的概率论。它的核心哲学思想是:不充分理由原则。1.1 不充分理由原则雅各布·伯努利(1654-1705):提出,如果因为无知,使得我们没有办法判断哪一个结果会比另外一个结果更容易出现,那么应该给予它们相同的概率。比如: 硬币:由于不清楚硬币哪一面...

2019-07-31 15:59:51

如何通俗地理解协方差和相关系数?

1 正相关与负相关1.1 相关性事物之间可能会有关系,这可以通过数据看出。比如要买房的人越多(下图的城镇化率可以简单理解为进城买房的人数),房价就越高,两者的关系称为正相关 :城镇化有另外一个反作用,降低出生率。城镇化和出生率之间的关系就是负相关 ,也就是说城镇化率越高、出生率会越低,所以说,“城镇化是最好的避孕药”:1.2 股票组合在现实生活中了解相关性是很有用处...

2019-06-25 10:13:03

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