- 博客(106)
- 收藏
- 关注
RSS订阅
原创 如何通俗地理解曲率
同学们大家好，今天我们来学习曲率。1 自然语言通俗的讲，曲率被定义为曲线的弯曲程度。比如下面这几条曲线，可以看到它们的弯曲程度是不一样的。最上面的最平，曲率最小，最下面的最弯，曲率最大。上面用的是自然语言，那么用数学语言定义，曲率又该如何定义呢？假设用代表曲率，也就是2 圆的曲率在定义一般曲线的曲率之前，我们首先定义的是圆的曲率。圆越小，曲率越大，圆越大，曲率越小。这是符合观察的,可以看到，随着圆越大，曲线越来越平，曲率越小，圆越小，曲线越弯，曲率越大也就是.
2022-05-17 14:34:25
11977
5
原创 如何通俗理解泊松分布？
1 甜在心馒头店公司楼下有家馒头店：每天早上六点到十点营业，生意挺好，就是发愁一个事情，应该准备多少个馒头才能既不浪费又能充分供应？老板统计了一周每日卖出的馒头（为了方便计算和讲解，缩小了数据）：均值为：按道理讲均值是不错的选择（参见如何理解最小二乘法？），但是如果每天准备5个馒头的话，从统计表来看，至少有两天不够卖，的时间不够卖：你“甜在心馒头店”又不是...
2019-04-12 14:48:40
447460
147
原创 如何理解主元分析（PCA）？
主元分析也就是PCA，主要用于数据降维。1 什么是降维？比如说有如下的房价数据：这种一维数据可以直接放在实数轴上：不过数据还需要处理下，假设房价样本用 表示，那么均值为：然后以均值 为原点：以 为原点的意思是，以 为0，那么上述表格的数字就需要修改下：这个过程称为“中心化”。“中心化”处理的原因是，这些数字后继会参与统计运算，比如求样本方差，中间就包...
2018-08-31 12:14:03
18802
4
原创 如何通俗易懂地讲解牛顿迭代法？
五次及以上多项式方程没有根式解（就是没有像二次方程那样的万能公式），这个是被伽罗瓦用群论做出的最著名的结论。但是，没有王屠夫难道非得吃带毛猪？工作生活中还是有诸多求解高次方程的真实需求（比如行星的轨道计算，往往就是涉及到很复杂的高次方程），这日子可怎么过下去啊？没有根式解不意味着方程解不出来，数学家也提供了很多方法，牛顿迭代法就是其中一种。1 切线是曲线的线性逼近要讲牛顿迭代法之前...
2018-08-19 13:02:37
121456
23
原创 为什么正态分布如此常见？
自然界中存在大量的正态分布，比如女性的身高：图片出自这里。正态分布的英文名为：Normal Distribution，台湾翻译为常态分布，可见一斑。可是为什么这么常见呢？每个人都相信它（正态分布）：实验工作者认为它是一个数学定理，数学研究者认为他是一个经验公式。----加布里埃尔·李普曼1 高尔顿钉板弗朗西斯·高尔顿爵士（1822－1911），查尔斯·达尔文的表弟...
2018-08-01 11:40:34
29685
5
原创 如何理解最小二乘法？
最小平方法是十九世纪统计学的主题曲。 从许多方面来看, 它之于统计学就相当于十八世纪的微积分之于数学。----乔治·斯蒂格勒的《The History of Statistics》1 日用而不知来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子：用它们来分别测量一线段的长度，得到的数值分别为（颜色指不同的尺子）：之所以出现不同的值可能因为： 不同厂家的尺子的生产精度不同 ...
2018-07-20 10:14:09
247443
183
原创 线性组合与线性相关
这时可以看到，变形后的式子就是定义中的那个式子，且向量的系数也不为零。这样，由红、绿、蓝、白组成的向量组，就是线性相关的。这里多说一句,把颜色用向量表示，这种做法被大量的应用于作图软件中，比如从下面这张某应用的截图中，可以看到，白色就是。根据它,我们说，白色是红、绿、蓝的线性组合。同样根据它，我们得到红、绿、蓝、白这个向量组是线性相关的。混合后可以看到，出现了一些新的颜色,比如最中间的这个白色，它就是由红、绿、蓝混合而成。回到前面颜色混合的例子，显然红、绿、蓝与白色是定义里的这个式子。
2023-04-11 16:40:46
1313
原创 微分方程的基本概念（通解、特解，线素场）
(2)微分方程的通解：如果微分方程包含任意常数，且任意常数个数与微分方程的阶数相同，这样的解称为微分方程的通解。确定了任意常数后所得到的解，被称为微分方程的特解。也是微分方程的解，但是它并没有包含在通解中。我们可以在坐标轴中取很多等距离的点，并在各个点作出斜率为。写成这种形式后，可以看到，方程中含有导数的最高阶为。同学们大家好，今天我们来学习微分方程的基础概念。都满足微分方程，它们都是微分方程的解。取值时的图像，也就是微分方程的通解。，因此这个方程又称为一阶微分方程。，这称为微分方程的特解，这里用到的。
2023-04-11 16:33:19
4540
1
原创 微分中值定理—柯西中值定理
前面说过，拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，这在几何上就可以体现。比如下面这条蓝色曲线，因为它能用函数表示，且闭曲间连续，开区间可导。前面我们已经学习了罗尔中值定理,和拉格朗日中值定理，它们的相同点是，研究的曲线都能用函数来表示。还是这条曲线,固定起点不变,对终点进行拉伸,此时，这条曲线无法再用函数表示，也就不符合拉格朗日中值定理。这样柯西中值定理的结论就是,曲线上至少有一点，它的切线的斜率与割线斜率是相等的。,那么实际上，这条曲线也可以用参数方程来表示,因此，它也是符合柯西中值定理的。
2023-04-11 14:49:40
3463
原创 微分中值定理—罗尔中值定理
我们所说的微分中值定理，一般指三大微分中值定理。罗尔中值定理是基础,拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广,柯西中值定理，是拉格朗日中值定理的推广。那么它们到底在讲什么呢？这节课，我们就来学习它们中的第一个，罗尔中值定理。
2022-10-18 11:10:03
4538
2
原创 如何通俗地理解合同矩阵
如何通俗地解释合同矩阵同一个二次曲线，在不同基下需要用不同的二次型矩阵表示。这两个二次型矩阵就称为合同矩阵。 1 解释1.1 直角坐标系假设我们有这样一个椭圆,它在直角坐标系 下的对应方程为1.2 自然基下面，我们这个方程用二次型表示为其中 就是椭圆上的点在自然基下的坐标1.3 非自然基既然椭圆可以表示在自然基下，当然也可以表示在非自然基下假设椭圆在某非自然基的对应方程为 就是椭圆上的点在非自然基下的坐标1.4 合同矩阵可以看到， 是同一个椭圆在不同基下对应的二次型,它们就被称为合同矩阵。而我们知道，若 满
2022-06-21 14:45:11
5174
1
原创 如何通俗地理解施密特正交化
如何通俗地理解施密特正交化如果是某向量空间的基，那么可通过下列做法找到该向量空间中的个两两正交的向量：方法称为施密特正交化（Gram–Schmidt process）。施密特正交化的几何意义是，比如已知中的某向量空间（下图中的蓝色平面）的基为:那么通过施密特正交化，可借助得到，就是该向量空间的一个正交基：下面来解释下施密特正交化是如何推导出来的。1 二维平面先来讲解下如何寻找二维向量空间的正交基。1.1 思路先从特殊的...
2022-05-19 16:50:21
31101
原创 相似矩阵串讲
《相似矩阵与二次型》是【马同学线性代数课程】里的最后一个单元。从名字就可以看出，它其实有两部分内容每一部分的信息密度都很大，这导致在学习过程中容易迷失主线。这篇文章就对“相似矩阵”部分进行一个主线的梳理。1 两个问题提出相似矩阵实际上是基于两个问题。问题一:非自然基下的映射如何完成问题二:矩阵的幂该如何计算2 相似矩阵对于问题一，我们是把它换到熟悉的自然基下去解决利用坐标转换非自然基下的映射就可以表示为与就是相似矩阵。3 相似对..
2022-05-19 16:04:30
776
1
原创 如何理解线性判别分类器（LDA）？
感知机是机器学习中最基本的算法，纯粹靠样本点来进行分类。如果增加关于样本点的知识，比如像本文一样就可以得到 LDA 算法
2022-05-18 14:09:09
2460
原创 我们为什么使用弧度？
在小学我们就学习了角度，然后到了初高中才学习了弧度，但弧度这个后来者却成为了数学中的重要组成部分，取角度而代之，这是为什么？
2022-05-18 12:42:11
1366
原创 线性代数中的几何图形
线性代数中，比如某 2 维的向量，如果乘上系数，就可以表示它所在的、过原点的直线：而有两个 2 维的线性无关向量、，通过它们的线性组合就可以表示整个：但如果我们不感兴趣过原点的直线和整个，而是别的一些几何图形，比如过、的直线（不过原点），或者以、为两端的线段，或者、、、围成的多边形，甚至一些曲线，那么线性代数能够帮到我们吗？上述几何图形其实就是的一部分，因此只需要对系数进行一些限制就可以办到，下面来具体解释下（本文不进行具体的推导了，只进行一些介绍）...
2022-05-17 15:47:01
976
原创 感知机的暴力实现
下面是机器学习的《监督式学习》课程的一篇试读文章，进行了一下重新排版，然后展示在这里。由于格式的限制，缺少了一些习题、可运行的代码、证明、注释等，可能会导致解释差强人意，所以介意的同学可以直接访问感知机的暴力实现，以获得最佳的阅读体验。1 寻找合适的和简单来说，感知机就是要找到一条直线（或者说超平面），将两类点分开（下图中的为横坐标，为纵坐标）：我们知道，直线（或者超平面）的方程为（下面的）：本文就来介绍感知机如何通过一种看似暴力的方法来寻找合适的和，从而找到将两类点分开的直线.
2020-11-20 12:33:01
767
2
原创 为什么要引入矩阵这个数学工具？它能简化哪些不用矩阵会复杂的问题？
之前在“为什么学习线性代数”中宽泛地谈过我们需要矩阵的原因，本文这里再介绍一个我们课程《监督式学习》中通过矩阵来提升运算效率的例子。先简单介绍下，之前在“如何理解线性回归”中介绍过线性回归的方法（简称为“老方法”），当特征较多时老方法效率很低（比如下文会提到的波士顿房价数据集），修改为矩阵算法之后效率会提高非常多倍：下面就来解释其中的细节，文中有一些复杂的公式，忽略应该也不会影响理解大意。1 线性回归既然是和老方法比较，那么先简单复述下“如何理解线性回归”中介绍的老方法，需要了解细节的可
2020-11-20 11:04:52
2862
1
原创 如何理解方差分析和F分布？
2020年初，整个世界遭受了新冠病毒地袭击，直到今天人类还没有走出阴霾。抗疫前线的医学专家们日以继夜地工作，同时进行着多种药物的临床试验。那么怎么判断哪一种药物效果更好呢？这就要说到一百年前问世的方差分析。1 费希尔的简介罗纳德·艾尔默·费希尔爵士（英语：Sir Ronald Aylmer Fisher，1890－1962，），英国统计学家、演化生物学家与遗传学家。现代统计学与现代进化论的奠基者之一。安德斯·哈尔德称他是“一位几乎独自建立现代统计科学的天才”：本文下面要讲到的方差分析、F
2020-11-19 16:20:55
7260
2
原创 沉没成本不是成本-----通俗解释几何分布与指数分布的无记忆性？
在经济学上，有一个概念是沉没成本，大概指的是已经付出的、且不可收回的成本。针对这个概念有一个常见的说法：这句话的意思是，既然沉没成本不可收回，那么在做选择的时候就不应该考虑它。举一个简单的例子，买票去看电影，放映10分钟你就知道这是一部烂片，那么有两个选项（图片出自沉没成本谬误）：此时这张电影票已经消费了，没有办法收回，购买电影票的钱就是沉没成本。这个时候如果想离开电影院就直接离开，不要去考虑为这张电影票付出的金钱。还有很多别的例子，这里就不一一列举了：下面要介绍的几何分布、指数分布
2020-11-19 15:54:24
2090
1
原创 如何理解统计中的特征函数？
先说结论，特征函数是随机变量的分布的不同表示形式。一般而言，对于随机变量的分布，大家习惯用概率密度函数来描述。比如说：意思就是服从正态分布，对应的概率密度函数如下：虽然概率密度函数理解起来很直观，但是确实随机变量的分布还有另外的描述方式，比如特征函数。1 关于特征1.1 剪影下面是两个剪影：是同一个人吗？不知道，看不清楚，不过如果知道这两个剪影的特征，比如： 名字 血型 身高 声音 ... 以上特征如果都一样，那么
2020-11-18 16:30:59
7191
8
原创 如何理解海森堡的「不确定性原理」？
维尔纳·海森堡（1901－1976），德国物理学家，量子力学创始人之一，“哥本哈根学派”代表性人物。海森堡提出了著名的“不确定性原理”：一个运动粒子的位置和它的动量不可被同时确定。我是物理科学的民科，下面关于物理学的内容是个人的理解，望各位同学指正。1 测不准原理“不确定性原理”有另外一个名字：“测不准原理”。1926年，海森堡任聘为哥本哈根大学尼尔斯·波耳研究所的讲师，协助尼尔斯·波耳做研究。隔年，他发表了论文《论量子理论运动学与力学的物理内涵》（On the physical c..
2020-11-18 16:09:04
5267
3
原创 为什么样本方差的分母是 n-1？
先把问题完整的描述下。如果已知随机变量的期望为，那么可以如下计算方差：上面的式子需要知道的具体分布是什么（在现实应用中往往不知道准确分布），计算起来也比较复杂。所以实践中常常采样之后，用下面这个来近似：其实现实中，往往连的期望也不清楚，只知道样本的均值：那么可以这么来计算：那这里就有两个问题了： 为什么可以用来近似？ 为什么使用替代之后，分母是？ 我们来仔细分析下细节，就可以弄清楚这两个问题。1 为什么可以用来近似？举个例子，假设服从这么一
2020-11-18 15:09:45
2082
2
原创 如何理解t检验、t分布、t值？
t检验、t分布、t值其实都是同一个数学概念中的不同部分。1 t检验的历史阿瑟·健力士公司（Arthur Guinness Son & Co.）是一家由阿瑟·健力士（Arthur Guinness）于1759年在爱尔兰都柏林建立的一家酿酒公司：不过它最出名的却不是啤酒，而是《吉尼斯世界纪录大全》：1951年11月10日，健力士酒厂的董事休·比佛爵士（Sir Hugh Beaver）在爱尔兰韦克斯福德郡打猎时，因为没打中金鸻，于是和同行们争论哪种鸟飞得最快，彼此争论不休。由于当时
2020-11-18 11:49:25
11081
2
原创 如何理解假设检验、P值？
讲概率、论统计，肯定要从抛硬币说起啊，这才是正确打开姿势嘛。1 什么是假设检验？你说你的硬币是公平的，也就是“花”和“字”出现的概率是差不多的。然后，你想和我打赌，作为一个资深的理智赌徒，我怎能听信你的一面之词，我提出要检查下你的硬币到底是不是公平的，万一是两面“花”怎么办？电影里面不是经常出现这样的桥段？你神色紧张，死活不让我检查，后来我们提出了折衷的方案，抛几次硬币，看看结果是不是公平的。总共扔了两次，都是“花”朝上，虽然几率是，但是也正常，继续扔。总共扔了四次，也都是“花”
2020-11-18 11:29:56
3426
1
原创 如何理解置信区间
置信区间，就是一种区间估计。先来看看什么是点估计，什么是区间估计。1 点估计与区间估计以前很流行一种刮刮卡：游戏规则是（假设只有一个大奖）： 大奖事先就固定好了，一定印在某一张刮刮卡上 买了刮刮卡之后，刮开就知道自己是否中奖 那么我们起码有两种策略来刮奖： 点估计：买一张，这就相当于你猜测这一张会中奖 区间估计：买一盒，这就相当于你猜测这一盒里面会有某一张中奖 很显然区间估计的命中率会更高（当然费用会更高，因为风险降低了）。接下来，我们看看置信
2020-11-18 11:17:15
7309
3
原创 如何理解概率论中的“矩”？
给我一个支点和一根足够长的棍子，我就可以举起整个地球。----阿基米德对比物理的力矩，你会发现，概率论中的“矩”真的是很有启发性的一个词。1 力矩大家应该都知道物理中的力矩，我这里也不展开说细节了，用一幅图来帮助大家回忆一下：上图中，两边能保持平衡，只要满足下面的式子就可以了（很粗糙的式子，没把力作为向量来考虑）：其中，都称为力矩。可以看出上图的大，小，但由于杆子长度不同，仍然可以取得平衡。利用上图的原理，我们就可以制作出秤：2 概率论中的“矩”在概率..
2020-11-18 10:50:21
4959
3
空空如也
空空如也
TA创建的收藏夹 TA关注的收藏夹
TA关注的人