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原创 多年之后，开个游戏引擎的新坑，多年的积累，实时更新
很久没写新文章了，因为去用力开发一款游戏了。游戏如下：战场品质再革新！《生死狙击2》全新实机演示曝光有了一些新感想，也想给逼自己再努力一把。我是去年5月参与到这款游戏的，主要作为引擎程序员，负责性能优化这个部分。因为性能优化是一个比较综合的事情，所以不论是业务逻辑，图形渲染，底层架构都有涉及。不论是客户端，服务端都有一些涉猎。有一个感受就是，做高品质的端游，真的太难了。自从基于物理的渲染被提出并逐步用到游戏之后，配合GPU的高速发展，外国游戏公司突然开火箭的速度般，在游戏的技术上取得了一个又一
2020-11-23 00:05:02
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原创 信号与系统第八章 调制解调
现实生活中 怎么去实现复指数信号 实际是用欧拉公式 拆出实部和虚部 然后相加。你会发现 实部是偶函数 而虚部是基函数 相加 负频率刚好抵消 只留下正频率。然后时分多路复用 可以根据时间不同插入不同的脉冲信号 这样不会产生重叠。而复指数信号的傅里叶变换是一个脉冲 信号 相当于对信号在频域做平移。调制利用的是用信号相乘 相当于频域卷积。所以连续信号竟然可以用离散信号表示。也可以用正弦信号 相当于两边平移。这要注意 脉冲信号可以是一些方波。这里讲了实际是怎么调制脉冲信号的。然后可以用脉冲信号进行调制。
2024-04-15 23:52:10
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原创 信号与系统第六章 时域和频域特性
系统的傅里叶变换是因为每个复指数信号经过线形时不变系统 会有一个增益 这个增益是这个系统的频率响应 也就是ht的傅里叶变换。然后x 和ht的卷积就是这个系统对x的响应 而脉冲响应也可以是x本身 所以相当于脉冲响应和ht卷积 就是ht本身。这里讲了理想滤波器是不可实现的 因为他是非因果的 一个脉冲信号会影响过去时间上的结果。所以 我们看系统的频率响应 通过傅里叶逆变换可以求出原始信号 比如低通滤波器。他的原始信号就是sinc函数 也就是系统的脉冲响应。所以 一个输入信号的傅里叶变换。
2024-04-09 23:29:05
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原创 信号与系统第五章 离散时间傅里叶变换
然后切入到离散函数的情况 首先周期离散函数用傅里叶级数表示 因为复指数离散下本身就是周期的 所以我们直接用一个周期内的复指数信号就可以表示这个离散函数 就是说离散函数的基是有限个的。然后我们把周期扩充到无穷大 基的个数也会变成无穷个 但是 周期性不变 这个时候在频域的离散函数也会变成连续的 但是 因为离散复指数信号是周期的 所以我们依然是在一个周期内求积分。其实频域里应该也只看一个周期内的频谱吧 因为超过的部分其实是因为定义导致的 只是为了让任何一个起点内都是可以在一个周期内求和的吧。
2024-04-08 00:14:39
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原创 非周期连续函数的傅里叶变换
所以按照之前卷积的概念 我们先把输入信号分解成基的线性组合 然后根据每个基的响应求和 就会得到最终的响应 基的响应是一个脉冲响应的积分 称为系统的频率响应 而基的系数就是x的傅里叶变换 于是就可以得到全新的卷积性质 时域的卷积等于频域的乘积。周期信号不论是离散还是连续 他的傅里叶级数都是离散的 而非周期信号的傅里叶变换是连续的 对应的周期信号的傅里叶变换 则是离散的。然后周期函数的傅里叶级数的系数是离散的 但非周期函数的傅里叶变换的系数是连续的。
2024-04-01 00:10:56
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原创 信号与系统第三章 离散周期信号
离散函数的周期信号的谐波信号喝连续有所不同 他们的信号集只有有限个 因为经过一个大N周期的信号又会变回原来的样子 连续信号不会 因为连续信号有无穷个采样点 随着频率增加并不会丢失信息 但离散信号因为采样不足 过高的频率最终会被采样成低频信号 又因为周期性 刚好重叠。其实和连续函数的公式基本一样的 连续函数是通过原函数和基在一个周期内的内积得到的 离散其实就是黎曼和 我们通过取函数的值 和基的乘积 然后再和无穷小量乘积 再求和。相乘和连续信号的区别是傅里叶级数系数的卷积只在一个周期内 叫周期卷积。
2024-03-13 23:55:37
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原创 信号与系统第三章 周期信号的傅里叶级数表示 连续函数
按照理论 不连续点应该要收敛到两边平均值的一半 t越靠近不连续点 需要的级数的项就必须越多 这样才能分割突起向边缘压缩 因为这个现象的存在 为了避免不连续点点误差 需要足够多的级数项。傅里叶级数收敛证明非常复杂 我们知道结论就行 就是它在一个周期内的能量是有限的 就是平方的积分是有限的 那么就是收敛的 虽然并不是处处相等 但可以是几乎处处相等。这里还说明了如果x是实偶函数 可以推出 它的级数系数也是实偶函数 如果是实奇函数 那么傅里叶系数就是纯虚函数。求的的傅里叶级数的系数 称为原函数的频谱系数。
2024-02-29 23:56:19
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原创 信号与系统第二章 线性时不变
这是因果性 现在的结果只取决于过去 那么就是n小于0的时候 h（n）只能是0 不然 我们翻转h函数 x轴大于0的部分就有值了 这样算面积的时候 就会把未来的时间的x也考虑进来。本来应该脉冲函数 狄拉克｛n｝对应的响应是h（n）平移的话 h（n-k） 所以最后是x（k）乘积求和。但这个y是关于n的函数，k是根据x的定义域决定的。而这些求和，就是对整个函数的响应。这个是画图理解脉冲函数的筛选性质 虽然脉冲函数本身是无穷大 但后面有个无穷小的微分。这里提到了脉冲信号可以有几种不同的理解 但最终的结果是一样的。
2024-02-28 00:30:44
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原创 信号与系统第一章 连续和离散 脉冲信号 系统
说白了就是把它看成一个很细的方波，这要注意，书里的写法针对的应该是离散的，连续的应该是一个积分，不然乘以一个脉冲那不就无穷大了么。但对于离散不是这样 虽然还是车轮 但因为基波频率有限 导致采样不足 ，经过一个N，就会开始新的轮回。这个挺有意思的，在后面傅立叶级数会用到。连续信号 对于每一个k都是不同的信号 它相当于一个车轮 车速不同就不同。这是一个带参数的积分表达式，要分类讨论，考虑t小于0和大于0即可。积分的因为需要再乘以一个delta x 这个是无穷小的 抵消了。最近重新看信号与系统 做个笔记。
2024-02-03 23:59:14
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原创 数学分析：傅里叶变换（完结撒花）
这是一个很好的例子，首先转换器是线性的，并且保持周期不变。我们把信号f变成傅里叶积分的形式，庵后根据线性的性质，可以得到新的公式。首先我们已经知道了周期函数的傅里叶级数，接下来对于非周期函数，其实可以看成周期无穷大的函数。它相当于连续意义下的傅里叶级数。而积分中的傅里叶系数，则叫做傅里叶变换。这里要注意，我们发现这个无限周期的傅里叶级数，它应该是可以写成一个积分的。因为变成无穷了，那么相当于积分的再次积分。这个是很好理解的，当频率逐渐增大时，正负部分会抵消。这就是傅里叶变换和傅里叶积分的定义。
2023-10-31 23:47:46
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原创 数学分析：傅里叶三角级数
贝塞尔不等式，就是勾股定理。不过要注意，因为他们的基并不是单位基，所以系数做过缩放。因为逼近的快，那么自然和实际之间的估计误差也就有一个可以看到的值。这个引理的意思是，当它震动到达无穷大的时候，正负部分相互抵消了。可以看到，如果f是m阶可导的，那么傅里叶逼近速度会很快。终于，这里我们看到了傅里叶可以用等于来表示。因为是等比数列，最终可以得到一个很好的地理克雷核。后面一个题需要用到微分几何的知识，我们先不看。这里说明了泰勒级数和傅里叶级数的区别。通过复形式，可以进一步化简。这里是傅里叶的逼近速度。
2023-10-27 00:01:54
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原创 数学分析：傅里叶级数
为什么呢，比如泰勒展开，它的基并不是正交的，而傅里叶展开的基，是正交的，正交的好处是，我们利用勾股定理，可以确认一个上界，让这些都是收敛的。这里看到了熟悉的名字，勒让德，首先它的基是多项式，但遗憾的是这些多项式并不是正交的，知识线性无关的。卓里奇书好的一点就是，不是直接引出公式，而是告诉你理由。先引出正交的概念，然后在函数空间中，也有正交，只不过是无限维的空间。在非单位的情况下，我们需要除以基的长度，这样也能得到对应的傅里叶系数。在函数空间里面，内积是指进行积分，同时会对第二个变量取共轭。
2023-10-19 00:11:51
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原创 数学分析：含参变量的积分
最后我们得到了一个卷积的公式。一般，我们可以认为，对于原始函数f(t),我们通过引入了一个脉冲函数，实际也引入了一个额外的时间平移变量。重点来了，我们一个普通的信号f，可以看成分段函数，而当分段趋于无穷的时候，分段函数就趋于f，而这个分段函数，可以用脉冲函数求和来表示。这个的意思是说，一些函数可能不是无限次可微的，那么我们把它和某个 特定的函数卷积后，就可以得到一个无限次可微的函数，而且他是逼近原始函数的。这里要注意变量的区别，首先积分的被积变量是x，但是函数的变量是y，y是参数，所以叫做带参数的积分。
2023-10-09 23:34:37
2138
原创 数学分析：级数
有x和t两个未知数，当t趋向于0的时候，f(x)=0. 不论x取什么值，都是成立的。这个很妙，里如x很小，但因为t趋向于0，所t一定能比x更小。然而，这个函数的函数族中，最大值并不是0.也就是说，虽然t趋向于0，但在任何t的基内，x都可以取到一个值，就是x=t，它不为0.对于一些复杂的函数或者非初等函数，我们要做微分和积分是困难的。这个积分的结果不是初等函数，我们可以用麦克老林级数展开，同时证明这个级数是一致收敛的。一致收敛性想要解决的问题是，对于取极限的函数族，和原始函数之间的一些一致性关系。
2023-09-22 23:40:50
89
原创 数学分析：势场
首先从散度的物理解释开始。首先，在球内的向量场的散度的积分，等于它在球边界上的流量的积分。所以根据积分中值定理，我们可以这么理解散度，它就是这个体积内的速度场的平均密度。而速度场只和源有关，所以它表示的某个点的源的密度。这里用了和散度一样的方法，不过分母不是体积，而是面积，这和普通的密度概念不太一样。在某个点的邻域的瞬时旋转轴，绕轴的瞬时角速度和旋转方向，就是旋度。因为存在一个点，它的密度是无穷大的。我们不好定义这样的函数，但我们可以定义它的积分。后面因为不考虑具体的物理的例子的话，是很难有印象的。
2023-09-10 00:15:55
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原创 数学分析：场论
对于微分形式的求和，因为里面的向量并不是标准笛卡尔坐标系下的，所以我们需要利用拉回映射，把微分形式里的向量换成笛卡尔具体的坐标轴上，例如dxdy.通过拉回映射，我们就能看到微分形式直接作用在笛卡尔坐标轴上，那么得到的自然是标准的微元面积，和黎曼和里面的是一致的。流形式也是一样的，速度场V和法向量n的内积，再乘以微元，面积微元我们前面推导过了，是普通的二形式的线性组合。所以，假设现在有一个2形式，它对应一个向量B，我们可以反推出它的1形式，而这个1形式的向量A，和B之间存在一个关系，B=rotA。
2023-08-27 21:24:51
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原创 数学分析：体形式
一般的斯托克斯公式说的是，对于一个k维曲面，它上面的k-1形式w，对于dw在曲面上的积分，等于在他的边界上的w的积分。可以看到，我们把等式7继续推导，可以得到等式8，然后，取任何一个正交基向量作为新的高，可以得到等式(9).而V(x)(ei,.....)这个行列式展开就可以得到（10），ei的坐标应该是(0,0,...1,...0,0)我们用微分形式的积分定义了具有参数形式的曲面的面积。这个做法非常有意思，对于n-1维曲面，体形式既可以看成n-1维曲面的面积，也可以看成n维曲面的体积，只要保证高为1就行。
2023-08-21 22:37:47
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原创 数学分析：曲线曲面积分
核心就是你需要证明在两个不同的标架下，两个的积分是相等的。这里要注意，前面虽然证明了外积和普通微分乘积是等价的，但微分形式的积分通过变量代换后，还是会有一个额外的雅克比行列式。这里很重要，可以卡拿到，相比起之前我们普通积分的黎曼和肯定会写出dt1dt2，微分形式的黎曼和的积分是省略后面的dt1^dt2的，或者是这个部分被合并到了2形式里面。这里要注意，微分形式的积分，在黎曼和的情况下是带作用的变量的。所以公式是显然成立的。可以看到，核心还是黎曼和，我们把两种微分的黎曼和都列出来，并且证明两个相等，即可。
2023-08-13 23:18:49
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原创 数学分析：外微分
先回顾下微分的概念，首先我们找到一个道路x，它是关于时间t的函数，然后我们可以得到一个速度，也就是切向量，所有道路的切向量组成了切空间。而微分是切空间的对偶空间，它的基是dx,注意dx1(x)是取x的第一个坐标，所以对于切向量，那么dx1就是取它的第一个坐标。k形式其实可以看成k个1形式的乘积，我们要引入斜对称的k形式，就需要增加一个运算A，而A的运算本质是通过行列式的组织，而这个和外积的运算刚好对应，所以外积可以看成A的一种。因为dx意味着取坐标，取坐标操作对应的行列式的运算是斜对称的形式。
2023-07-30 22:54:48
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原创 数学分析：流形的线性代数回顾
这里我们看到了为什么要引入行列式，是因为一个取坐标的操作的张量积放到斜对称形式的推导里面，会得到一个式子，这个式子就是行列式的公式。Y上的k形式，作用在Y的基上引出的系数b。和对偶映射X上的k形式，作用在X的基上引出的系数a，他们之间的系数关系和基的关系的表达式。我们得到了两组基向量的关系，他们对应的对偶映射的k形式也是具有类似关系的。按照前面的公式，我们可以发现取坐标的外积，最终就是这些坐标分别取出来组成一个矩阵的行列式的值。k形势下的坐标形式，后面的y的一堆的乘积就是坐标，前面是k形式作用在基上的值。
2023-07-30 16:26:17
1086
原创 数学分析：流形1
所以我们再看下，对于切空间中的向量，我们的余切空间提供了一个固定函数，或者说对于一个固定的函数f，余切空间是把切向量的每个分量分别作用在f上，然后再相加，有点类似于内积的操作。所以，虽然切向量的每个分量看上去也是个偏导，但他因为没有固定的函数，而且是一个“向量”，所以还需要余切空间的帮忙，对应一个固定的f，同时也引入内积的部分，得到一个R。这里也要好好理解，流形上的F，是一个定义在流形道路上的函数f，它的微分运算具有(8)(9)的形式，那么他们肯定包含切向量，这个切向量是微分中需要用到的。
2023-07-30 00:31:00
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原创 微分流形之魂
这个要好好理解，按理说它取到的是ei的坐标，就是1.当然，我们可以感受到，如果坐标是其他值，也是可以的，只要复合约定就行。而且既然是线性，那么如果是一维的，就应该是y=kx。这里要注意：(v1, v2), (w1, w2, w3)那么它的基有6个：(v1,w1),(v1,w2),(v1,w3), (v2,w1),(v2,w2),(v2,w3)这里其实并没有那么好理解，要注意，得到f和后面的表达式后，因为要说明后面是f的一组基，首先得到他们是线性无关的，而且按照我们前面对偶基的写法，我们也能慢慢理解。
2023-07-27 22:34:37
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原创 微分流形3：流形上的矢量场和张量场（续）
也就是说，微分，要先对我们的标量场进行方向导数的求导，得到一个向量场，然后再对这个向量场映射到一个F，这是它的对偶映射，也就是余切向量。df=bi axi，注意，这是求和。我们简单思考下，对于g而言，它的标量场只含有x1的元素，那么它的切向量，也就只会需要对x1求偏导，同样的，对于切向量的映射到R，最终也只会需要dx1存在，因为dx2,dx3映射的值都是0.这是一个很好的例子，我们首先找到流形M点p上的一个向量，这个向量一看就是切向量，也就是求方向导数，那么微分作用到它身上，就会映射到余切向量，
2023-07-24 23:36:02
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原创 微分流形2：流形上的矢量场和张量场
每一个方向导数的结果就是一个“斜率”，理论上我们可以写出这个斜率下经过p点的“直线方程”，我们把所有的方向全部组合在一起，所有的直线就变成了平面，也就是这个场的超平面。也就是说，三维空间下的一个二维曲面是一个微分流形，我们取它的一个局部，它应该同胚于R^2，然后我们应该有一个到R的映射，这就是它的泛函。不过也对，本来求导后得到的是一个切空间，但现在考虑的是完整的流形M，那么所有的切空间的合集应该还是一个标量场。注意“场”是一个映射，把流形映射到一个标量上，形成的一个“场”，这个场是映射本身的性质。
2023-07-23 15:29:22
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原创 微分流形入门1：拓扑流形和标量场
然后我们想要给拓扑空间上的每个点都分配一个坐标，我们就把这些开覆盖都局部同胚到Rn空间里，这样它就都有了坐标。接着，我们想在拓扑流形上研究微分，那么就要保证拓扑上具有微分结构，也就是光滑标量场的存在。这就要考虑到两两之间的重合部分也得是光滑的，所以就引出了坐标变换的映射是光滑的才行。流形之间的映射的光滑是比较复杂的， 需要利用R^n作为媒介。如果流形本身是光滑的，那么流形之间的映射是不是光滑的呢？那么M就是拓扑流形。拓扑是一个集合，是集合X的所有的子集。直观的记忆就是拓扑就是一个集合的所有的开子集吧。
2023-07-23 00:07:06
147
原创 数学分析：换元详解
首先要把这n个m维向量进行格拉姆斯密特正交化，得到正交后的Umn.为什么会想到这个，因为对于坐标个数和实际空间维度不同的情况下，我们可以利用标架，想办法找到和坐标个数相同的维度，进而回到我们熟悉的n=m的情况下进行讨论。这里熟悉线性代数的人肯定知道，UUT的乘积，表示V空间的投影矩阵，它的意思是把一个向量投影到U的列空间中，得到的值就是这个列空间下的坐标。格拉姆矩阵是矩阵C行列式的平方，而矩阵C的列，就是原本空间在斯密特正交化后的空间下的坐标的体积。这个公式仔细看，其实就是我们的求导啊。
2023-07-18 23:52:06
419
原创 数学分析：对偶映射
对于任意的dxdy，通过x=x(t1,t2....tm), y = y(t1,t2....tm) 就变成了一系列的求和，每个求和前面都是对应的偏导的雅克比矩阵的行列式的值。每个分量都是一个求和的式子。这是一个很好的题目，首先2形式相当于微分dxdy，而U代表的是dt1,dt2...dtm,这样相当于问我们要怎么进行换元。这是一个整体，实际上到右边后，w作用的是V上的变量，同时也必须是V上的坐标，那么原来的坐标就要通过切空间转换过去。注意这个式子，t属于U，phit转到了V，但是坐标也发生了变化，这是因为。
2023-07-16 23:13:22
284
原创 数学分析：面积和微分形式
考虑一个平面上的坐标，我们任意一个坐标基方向的极小的变化，都会引起曲面上的一个极小的变化。这个极小的变化的向量，是两个点的差值，根据微分中值定理，我们可以找到这点的导数对应的自变量变化的乘积。后面是说可以去掉k-1维的部分，但积分的结果是不变的。这是一个比较重要的例子，从里面我们可以看到因为每个坐标都是基坐标的求和，所以都需要展开，写成求和公式后，这个坐标形式看着还是挺复杂的。不过这个形式可以启发我们的思考，对于任何k维的形式，可以拆成一堆最简单k形式的组合，而这些组合的单个个体是一堆1形式的外积。
2023-07-16 22:35:04
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原创 数学分析：k维曲面
首先当x1=0的时候，y=0，此时不论x2,x3怎么变换，y始终是0，也就是y对他们的变化率是0.所以y对x2,x3的求导就是0. 而如果把x1看成未知数，那么知道一个点的值并不能知道具体的导数。r是常数，a是参数，那么a就可以有自己的参数域(0,2π),注意，这是个开集，会挖掉一个点。这里要注意，莫比乌斯环的法向量场是不存在的，因为饶了一圈之后，它的法线就反了。所以，矩阵变换把空间坐标v变到空间坐标w，而它的转置，则把基向量w变到基向量v。直观的理解就是，如果基不变，那么线性变换代表的矩阵就是坐标变换。
2023-07-13 23:02:15
288
原创 数学分析：重积分
终于，我们要看到我们最关心的重积分的变量代换，遗憾的是，这里只对了微分同胚的情况下做了描述，也就是对于二元换三元这种非微分同胚的情况下，我们依然不能够得到答案。一个函数f(x)的积分，而且连续的话，可以可以找到一个f(kexi)miu(E)，和这个积分相等。我们有了求和公式，自然想到了积分的定义，根据线性代数的知识，一个线性变换会导致测度的变换，它的倍率就是雅克比矩阵的行列式。几乎处处连续，指的是不连续点的测度是0.例如在所有的有理数点间断，但因为所有的有理数点的测度是0，所以依然是可积。
2023-06-13 22:43:23
146
原创 行列式为什么是体积
问了gpt，才知道这个叫做“平行多面体体积不变性定理”（Theorem of Volume Invariance for Parallelepiped）这里面还涉及到了一个性质，就是行列式一行x倍数+其他行，行列式的值不变，这个在线性代数应该这样学里面有证明。大概思路是，先证明行列式是可乘的，然后证明初等变换的行列式为1即可。可以明显看到，根据斯密特正交化，我们可以轻松的证明这个结论。
2023-05-05 23:58:28
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原创 数学分析：切空间和条件极值
如果这两条先相切，那么在足够小的邻域内，等高线高的部分和这条曲线就没有交点，而等高线低的部分，存在两个交点，交点中间的部分，要么都大于，要么都小于。这里可以这么用几何的方向考虑，对于一个二元函数f(x,y), 它的所有值可以填充一个完整的二维曲面，但如果我指定了某一个常数c，让f(x,y）= c,那么就相当于在这个曲面上截取了一条曲线。同时，克赛和gradf也正交，因为TS属于TN，那么TN的正交补就属于TS的正交补，所以gradf所在的空间是属于gradF，所以就得到了31.
2023-05-03 21:23:31
158
原创 数学分析：秩定理，莫尔斯引理
我是这么理解秩定理的，对于一个映射，我们可以不断的寻找微分同胚来简化这个映射，如果它们已经是微分同胚，那么其实就是可以简化成一个恒等映射。同时，通过对称矩阵的对角化，可以把特征值的矩阵当成换元，所以可以直接假设二次型矩阵就是一个对角矩阵。二阶偏导数的特点在于它的矩阵是对称的，实对称的矩阵是正定的，可以对角化，也就是可以化成标准型，或者叫可以正则化。这个要这么理解，对于函数f，如果它每个分量都是独立的，那么用一个F函数，带入它们等于=0，只有一种情况，就是F函数本身就是零函数。这个引理的证明也非常困难。
2023-05-03 17:49:31
328
原创 数学分析：隐函数定理和反函数定理
这里要注意，梯度和切平面是相互垂直的，同时，也可以认为它和函数F的等值面正交。等值面可以这么理解，首先我们熟悉的是F(x)=0,我们改变右边的值，相当于不改变形状的情况下进行图形变换，考虑一个圆，改变右边的值相当于对这个圆做缩放。如果说一个映射是光滑的，那么在一个点的小邻域内，它的性质和它的微分基本一样。切平面方程是一个很重要的方程，对于一个曲面F,它的切平面方程就是上面写的这个。换成对应的(x-x0)之类即可，就得到第一种显式的切平面方程，这里的显式指z=f(x,y)是一个显式方程。
2023-05-03 00:19:37
1326
原创 数学分析：多元微积分4
它在R^m中连续，也在R^m-1维的球面上连续。这里其实有点难理解，用了一个技巧，它把所有的h里的分量进行了归一化，然后把|h|提取到前面。然后因为我们只关心前面的正负号，所以可以忽视被提取出去的项。而归一化后的变量，可以看成一个在球面上的紧集。这里要注意，其实它把不确定性给提取出去了，本来这可能是一个无穷的，但是现在变成了 一个无穷的*有界集。然后s(t) = x + th, s是R^n空间下的。所以是R-->R^n--->R的一个函数。这是一个复合函数，R空间下的t，老师的证明更加清晰。
2023-04-09 23:24:00
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原创 数学分析：多元微积分3
首先因为n的时候成立，所以括号里面的n阶偏导可以任意调换顺序，所以我们只要证明i1能和其中任何一个进行顺序交换，那么就可以换出所有的排列组合。然后拆成i1i2(),因为两个之间可以交换偏导成i2i1，再合并i2(i1....) 证明完成。这就是当z是R的情况，在一元微积分里面我们经常看到这样的公式。这个的-1，并不是倒数，而是取逆，也就是逆矩阵。（4）确实不太好理解，但从证明来看确实如此。梯度的含义，简单来说，就是变化最快的那个方向。证明非常巧妙，让人惊叹。多元函数的中值定理，
2023-04-09 18:00:14
90
原创 数学分析：多元微积分2
这段话要好好理解，向量h是点x上的切空间里的向量，它上面的微分值是f(x)里的切空间里的向量。所以f'(x)的线性映射就是x的切空间到f(x)的切空间的映射。首先我们把映射f拆成多个(f1,f2,....fn),这样每个映射都可以用里斯表示定理，得到偏导数的求和形式，然后再展开成两个矩阵的乘积。这里我们就要开始适应多元微积分的概念，这里的f'(x)并不是一个斜率，而是一个矩阵，是一个线性映射。这是一个非常重要的概念，我们是根据不等式，然后引入了向量之间的夹角的概念。这是内积的概念，经常说的欧几里得空间。
2023-04-09 17:20:07
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原创 数学分析：多元微积分1
这里引出了完备度量空间的概念，其实我一开始也没明白为什么基本点列会没有极限，后来查了才知道，对于一个开区间(a,b),如果它的基本点列最终的极限是b，那么因为b不在这个空间中，所以我们认为这个空间不是完备度量的空间。这个还挺有意思的，对于极限趋于无穷的写法是，对于任何球的邻域，都可以找到一组基，使得这组基对应的像都不在这个球中。换句话说，再大的球，我们都可以找到一组基，使得基里的每个像都比这个球还要大，这就是无穷。，都可以找到一个足够小的区间，在这个区间上的任何两点对应的像的距离都小于它。
2023-04-09 15:47:33
436
原创 Matrix Animation and Polar Decomposition
这里也非常有意思，如果M的行列式为正，那么Q就是一个纯旋转，如果M行列式为负，那么我们需要增加一个反射矩阵。也许最好排除反射矩阵，但那样的话我们很难找到和它最近的旋转，因为每个旋转和任何反射之间的距离是固定的。这是什么意思呢，就是说如果矩阵M代表的是旋转和缩放，那么其实我们希望它是坐标系无关的。也就是说，换了个坐标系，旋转依然是旋转，缩放依然是缩放。举个例子，一个旋转矩阵的奇异值分解，可以变成无数种的两个旋转的组合。QR分解是唯一的，而且相对稳定。而极分解则是唯一的，而且是坐标系无关的，而且是容易计算的。
2023-03-15 22:33:45
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原创 新的知识点记录
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2023-03-07 22:50:21
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空空如也
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